2019届(浙教版)九年级数学下册期末高效复习专题3：圆的基本性质(含解析).docx

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1、专题3圆的基本性质题型一点与圆的位置关系例1[2017·大冶校级月考]若⊙O的半径为5cm，平面上有一点A，OA＝6cm，那么点A与⊙O的位置关系是(A)A．点A在⊙O外B．点A在⊙O上C．点A在⊙O内D．不能确定【解析】∵⊙O的半径为5cm，OA＝6cm，∴d＞r，∴点A与⊙O的位置关系是点A在⊙O外．变式跟进1．[2016·宜昌]在公园的O处附近有E，F，G，H四棵树，位置如图1所示(图中小正方形的边长均相等)．现计划修建一座以O为圆心，OA为半径的圆形水池，要求池中不留树木，则E，F，G，H

2、四棵树中需要被移除的为(A)图1A．E，F，GB．F，G，HC．G，H，ED．H，E，F【解析】∵OA＝1＋22＝5，∴OE＝2＜OA，∴点E在⊙O内；OF＝2＜OA，∴点F在⊙O内；OG＝1＜OA，∴点G在⊙O内；OH＝22＋22＝22＞OA，∴点H在⊙O外．题型二垂径定理及其推论例2如图2，⊙O的直径CD＝10，弦AB＝8，AB⊥CD，垂足为M，则DM的长为(D)A．5B．6C．7D．8图2例2答图【解析】连结OA，如答图所示．∵⊙O的直径CD＝10，∴OA＝5，∵弦AB＝8，AB⊥CD，∴A

3、M＝12AB＝12×8＝4，在Rt△AOM中，OM＝OA2－AM2＝52－42＝3，∴DM＝OD＋OM＝5＋3＝8.【点悟】已知直径与弦垂直的问题中，常连半径构造直角三角形，其中斜边为圆的半径，两直角边是弦长的一半和圆心到弦的距离，从而运用勾股定理来计算．变式跟进2．如图3，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝8，且AE∶BE＝1∶4，则AB的长度为(A)A．10B．5C．12D.53图3第2题答图【解析】如答图，连结OC，设AE＝x，∵AE∶BE＝1∶4，∴BE＝4x，∴OC＝2.5x

4、，∴OE＝1.5x，∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝12CD＝4，Rt△OCE中，OE2＋CE2＝OC2，∴(1.5x)2＋42＝(2.5x)2，∴x＝2，∴AB＝10.3．有一座弧形的拱桥如图4，桥下水面的宽度AB为7.2m，拱顶与水面的距离CD的长为2.4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为长方形并且高出水面2m的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？图4第3题答图解：如答图，连结ON，OB.∵OC⊥AB，∴D为AB中点，∵AB＝7.2m，∴BD＝12AB＝3.6m.又∵CD＝2.4m，∴设OB＝

5、OC＝ON＝r，则OD＝(r－2.4)m.在Rt△BOD中，由勾股定理得r2＝(r－2.4)2＋3.62，解得r＝3.9.∵CD＝2.4m，船舱顶部为长方形并高出水面2m，∴CE＝2.4－2＝0.4(m)，∴OE＝r－CE＝3.9－0.4＝3.5(m)，在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝3.92－3.52＝2.96(m2)，∴EN≈1.72(m)．∴MN＝2EN＝2×1.72＝3.44m＞3，∴此货船能顺利通过这座弧形拱桥．题型三圆周角定理的综合例3[2017·市南区一模]如图5，在直径为

6、AB的⊙O中，C，D是⊙O上的两点，∠AOD＝58°，CD∥AB，则∠ABC的度数为__61°__．图5【解析】∵∠AOD＝58°，∴∠ACD＝∠AOD＝29°，∵CD∥AB，∴∠CAB＝∠ACD＝29°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－29°＝61°.【点悟】(1)在同圆(或等圆)中，圆心角(或圆周角)、弧、弦中只要有一组量相等，则其他对应的各组量也分别相等，利用这个性质可以将问题互相转化，达到求解或证明的目的；(2)注意圆中的隐含条件(半径相等)的应用；(3)圆周角定理及

7、其推论，是进行圆内角度数转化与计算的主要依据，遇直径，要想到直径所对的圆周角是90°，从而获得到直角三角形；遇到弧所对的圆周角与圆心角，要想到同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍以及同弧所对的圆周角相等．变式跟进4．如图6，⊙O是正方形ABCD的外接圆，点P在⊙O上，则∠APB＝__45°__．图6第4题答图【解析】如答图，连结OA，OB.根据正方形的性质，得∠AOB＝90°.再根据圆周角定理，得∠APB＝45°.5．[2017·永嘉二模]如图7，已知AB是半圆O的直径，OC⊥AB交半圆于点C，D是射

8、线OC上一点，连结AD交半圆O于点E，连结BE，CE.(1)求证：EC平分∠BED；(2)当EB＝ED时，求证：AE＝CE.图7第5题答图证明：(1)∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB＝90°，∴∠DEB＝90°.∵OC⊥AB，∴∠AOC＝∠BOC＝90°，∴∠BEC＝45°，∴∠DEC＝45°.∴∠BEC＝∠DEC，即EC平分∠BED；(2)如答图，连结BC，OE，在△BEC与△DEC中，⎩⎪⎨⎪⎧BE＝DE，∠BEC＝∠DEC，EC＝EC，∴△BEC≌△DEC，∴∠CBE＝∠CD