有关证实部函数的一族解析函数.doc

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1、有关正实部函数的一族解析函数廖扬赤峰学院数学与统计学院数学与应用数学08级学号08041320212摘要：本文引进并讨论有关正实部函数的一族解析函数，用从属关系和最大模原理讨论中函数的系数不等式，由此推出类中函数的偏差定理、覆盖性质、极值点、包含关系、半径问题等性质.关键词:正实部;解析;从属关系;极值点.1.引言在十七和十八世纪，随着微积分的产生和发展，人们开始把实变函数推广到复变函数的情形并且获得了一些重要结果.十九世纪，柯西、维尔斯特拉斯、黎曼的研究奠定了复变函数理论的基础，使复变函数理论日益成熟和系统化.二十世纪，在经典的复变函数理论得到了新的发展和应用的同时，数学工作者又开辟了

2、复变函数的众多的分支，单叶和多叶解析函数理论就是其中一个极为重要的组成部分.其中单叶函数就曾被Hurwitz进行了深入地研究，几乎同时Koebe在进行代数曲线单值化研究时，发现了在单位圆盘内单叶解析的函数具有许多重要的性质并对它进行了深入的研究，获得了一些经典的成果单叶函数的研究开始逐步进入从定性研究转向定量方面的研究，在研究过程中，解决了一些难而有趣的问题，其中就涌现了一批我国杰出的数学家，如最早从事单叶函数方面研究的是陈建功教授.在他的带动下，龚升、任福尧、夏道行、胡克、刘书琴等人也在单叶函数方面做出了许多重要的工作，不少成果达到了国际先进水平，使单叶函数成为我国最有成效的数学研究分

3、支之一.由于单叶函数许多方面的性质我们可以推广到多叶的情况，因此，单叶函数成为目前国内外专家研究较广的一类复变函数，我们相信通过对单叶函数的进一步探索，我们会更近一步了解某些复变函数的更多性质.设表示在单位圆内解析且满足，的函数构成函数类.称为正实部函数.设与在内解析，若存在内解析函数，满足，，使得则称从属于，记为.定义：设，，用表示满足条件（1）的函数全体组成的类由定义充要条件为，存在解析函数并且对满足，，使得，即（2）其中（3）本文用从属关系和最大模原理讨论函数类，得到系数不等式，由此推出类中函数的偏差定理、覆盖性质、极值点、包含关系、半径问题等性质.2.系数不等式定理1.设，，，如

4、果函数满足条件（4）则证明：（充分性）设满足（4）式，令，则=由不等式（4）可知：再由最大模原理，当时有：所以当时（4）式成立，因此定理2.设，，，如果，则（5）证明：要证（5）式成立，则由已知条件，我们得到对，则.所以，取，则上式变为取时由此推出下面讨论等号成立的函数：令，其余全为0，则所以时就能达到准确值.3.偏差定理，覆盖性质定理3.设且则证明：则由定理2，有：即因此由，得到成立.推论1.（覆盖定理）设.单位圆盘D被映射成域，则因此可以覆盖圆，且不能含有比圆更大的圆，此结论是精确的.4.极值点定理4.设，。若，则，证明：设，由定理2得所以故证毕.定理5.设，则，当且仅当，其中.证明

5、：（必要性）设则于是.（充分性）设，由定理2得令且.则有证毕.5.闭包定理定理6.设c为实数且，，则对有，其中.证明：因为，则由定理2得所以从而证毕.6.星象半径定理7.设则在内有，其中.证明：设，由Schwarz引理，存在，，使得，所以即由单叶函数必要性可知：所以即由定理2得所以即证毕.7.凸半径定理8.设，则在内，，为凸函数，其中证明：因为且由Schwarz引理可得由定理2可得即8.积分算子封闭性定理9.设为实数且，.则积分算子满足.证明：设，则由的表达式得到其中.因为，所以.所以，由定理1可知，证毕.定理10.设为实数且，，则在中是单叶的，其中.证明：设，则因为如果，则有，而定理2

6、有因此则证毕.9.不等式将函数类中建立不等式，为此需要如下引理：设在内解析且满足，则.定理11.设函数，则对于和任意的实数有.当时，使等号成立的函数为；当时使等号成立的函数为.证明：因为，由的定义和从属于的定义，存在内解析且满足的解析函数，使得将和的幂级数展开式代入上式,经过一些运算可得，于是对于任意实数,有证毕.参考文献[1]李书海，特殊解析函数[M].内蒙古科技出版社，2007年8月，第一版.[2]鲍春梅，一族正实部函数.赤峰学院学报（自然科学版）[J],2007,23(5):16-17.[3]洪敏，关于具有正系数的某一类解析函数[J].宝鸡文理学院学报（自然科学版），2008,28

7、（3）：186-189[4]AOUFMK,DARWISHHE,ALIEE.Asub2classofanalyticfunctionswithnegativeandmissingcoefficients[J].SoutheastAsianBulletinofMathematics,2007,31:2052220.[5]AOUFMK,DARWISHHE,ATTIYAAA.Oncertainsubclassesofanalyticfunc