LMI工具箱介绍——俞立.ppt

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1、三、LMI工具箱介绍由“现代控制理论概述”部分，我们知道判别一个系统的稳定性归结为求解关于矩阵P的线性矩阵不等式ATP+PA=－Q<0，若该不等式存在解P>0则系统稳定。要确定一个线性矩阵不等式系统，需要以下2步(1)定义每个矩阵变量的维数和结构.(2)描述每个LMI中各个项的内容.setlmis([])或setlmis(lmiso)lmisys=getlmis以getlmis结束以setlmis开始X=lmivar(type,struct)用lmivar定义矩阵变量lmiterm(…………)用lmiterm描述LMI的每项§3.1用LMI工具箱描述一个线性矩阵不

2、等式系统(1)定义对称块对角结构的矩阵变量X时，struct是r×2维矩阵，该矩阵第i行是(m,n),X=lmivar(type,struct)用lmivar定义矩阵变量type=1；其中m是Di的阶次,1表示Di是一个满的对称矩阵；0表示Di是一个数量矩阵；－1表示Di是一个零矩阵；例：如何定义如下矩阵变量①若X是一个3×3维的对称矩阵,则用X=lmivar(1,[31])来定义。②若，其中D是5×5维对称矩阵，d1和d2是两个标量，I2是2×2维的单位矩阵，则用X=lmivar(1,[51;10;20])来定义。(2)定义长方型结构的矩阵变量X时，则type=

3、2；struct=[m,n]表示矩阵的维数.例,如何定义一个2×4维的对称矩阵变量X？X=lmivar(2,[24])(3)定义其他结构的矩阵变量X时,X的每个元是0或±xn,其中xn是第n个决策变量，则type=3；struct是与变量X同维的矩阵,第i行第j列是0如果X(i,j)=0；n如果X(i,j)=xn；－n如果X(i,j)=－xn；①%1#LMIlmiterm([111X],1,A,'s')lmiterm([111S],C',C)lmiterm([112X],1,B)lmiterm([122S],-1,1)%2#LMIlmiterm([-211X],1

4、,1)%3#LMIlmiterm([-311S],1,1)lmiterm([3110],1])①描述属于第几个不等式，不等号的小边+，大边－.②②描述该项所在块的位置,0块不描述;对称的块只描述一次.③③描述该项是变量还是常数.④④变量的左系数、右系数.⑤可选项,只能是's',描述转置.⑤lmiterm的格式以为例。使用LMI工具箱描述其中X∈R6×6和S=DTD∈R4×4，则定义2个矩阵变量X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])setlmis([])X=lmivar(1,[61])S=lmivar(1,[20;21])%1#LMI

5、lmiterm([111X],1,A,'s')lmiterm([111S],C',C)lmiterm([112X],1,B)lmiterm([122S],-1,1)%2#LMIlmiterm([-211X],1,1)%3#LMIlmiterm([-311S],1,1)lmiterm([3110],1)lmisys=getlmisLMI工具箱提供了用于求解3类问题的LMI求解器.1、可行性问题寻找一个x∈RN,使得满足LMIA(x)

6、通过求解如下的辅助优化问题mints.t.A(x)－B(x)≤tI来求解线性矩阵不等式系统lmisys的可行性问题.§3.2线性矩阵不等式求解器求解器的2个输出量:tmin:前述凸优化问题的全局最优值：tmin<0,则系统lmisys是可行的；tmin>0,则系统lmisys是不可行的；xfeas:系统lmisys可行时,给出一个可行解,用dec2mat提取出该可行解.求解器的3个输入量:lmisys:如前所述;target:可选,为tmin设置目标值,只要tmin

7、求解参数,见资料.求解器feasp[tmin,xfeas]=feasp(lmisys,options,target)例：求满足P>I的对称矩阵P,使得A1TP+PA1<0,A2TP+PA2<0,A3TP+PA3<0其中解:新建feaspexample.m文件.functionmainfunctionclc;%清屏A1=[-12;1-3];%输入已知矩阵A2=[-0.81.5;1.3-2.7];A3=[-1.40.9;0.7-2];setlmis([])%开始设置系统框架P=lmivar(1,[21])%定义矩阵变量lmiterm([111P],1,A1,'s')%

8、1#LMI