椭圆型不等式及其应用.pdf

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1、习f高一二侄J椭圆型不等式及其应用■王连娜利用不等式求函数的最值、值域，是高中数学中的一个重因为4≤≤5，所以当=4时，Y=；当=5时，Y：点和难点，特别是非单调无理函数的最值和值域的求解，更是1．难点中的难点．为了帮助同学们突破这一难点，本文先介绍一故Y∈[1，2]．个简单的不等式，其结构是由椭圆方程而得出，故简称为椭圆i一、求函数Y=A、+B(n>0，d<0，0c>型不等式．6d’一≤≤一号。A>0，>ol的值域定理：若口、b≠o，且+告=1，则(+y)≤口+b，当例3求函数Y=3了+4的值域．且仅当b2=aZy

2、时取等号．廨：令m=，n=，证明：因为(。：)．1=(a)(手+吾)=2+则Y=3m+4n，in2-4-n=4(m≥O，n≥O,y>0)，从而+++≥2+2y+y2=(+，，)，当且仅当6=。y时由定理和Y>0，得Y=3m+4n≤,／36+64：10．取等号，所以(+y)。≤8+b．因为5≤≤9，所以当：5时，Y=8；当=9时，Y：6．此不等式在求某些非单调无理函数的最值、值域等方面，故Y∈[6，10]．有着十分广泛的应用，请看以下各例的解答．三、求函数)，=Ⅱ+、／／(口>0。c>0。d

3、0>0,d<0。口c>bd。、例4求函数y=3+的值域一≤≤一)的值域n口解：令m=，n=，则Y：3m+n，4m+n=9例1求函数Y=+的值域(n而+等=1解：令m：，n=肛，由定理得=(3m+n)≤81+9=则Y=m+凡，m+n=I，(m≥0，n≥0，Y>0)，由定理和y>0，得Y=m+n≤~／1=所以一≤y≤因为2≤≤3，所以当=2时，Y=I；当=3时，Y：I．故Y∈[1，]．因为一3≤≤寻，例2求函数Y=+了的值域．所以当=一÷时，y=一号；解：令m=厢，n=甄，则Y=m+，3m+当=÷帅=号．=3m≥0，≥o

4、，，，>0)，从而m。+争=1，由定理和y>0，故川一9，]．得_y=m+≤=2．2d裙·19·f高一：随J爨理化学习例5求函数y=2x+3、—的值域．例8求函数，，=+2x一的最值．解：令m：，n：，则y：2m+3n,4mz+／12：9，解：令m=，n=，则y=m+n，2m+n=5(m≥0，n≥0，Y>0)，从而+=从而芋+孚由定理得=(2m+3n)≤90，所以一3,A-6≤Y≤3,／i-6因为一÷≤≤3，所以当：一3时，y：一3；当=由定理得y=m+n≤=因为2≤≤--9g-妻时，y=3因为≤≤，所以当：=2时，

5、Y：√5；当：÷时，y故Y[一3，3,／r6-]．~／10’四、求某些函数的最值所：例6设、Y∈R，N-4x++xy=1，求2Y的最大值．解：因为42+y+=1=(2+等)了5·()，例9求函数=2+3的最值．解：令m：，n=、孵，所以由定理得(2+寺+)≤1+÷：，贝0Y：2m+3n，m+／7,=9(／／,≥0)，即(2+y)≤8，从而+所以≤由定理得Y=(2m+3n)≤117，所以一3,／i3-≤Y≤3,／~-所以2+y的最大值为因为一3≤≤3，所以当：一3时，Y=一6；当=3时，例7若实数、)，满足2+=1，求

6、的最小值．y6解：由+Y=1可得2xy=(Y)一1①所以一63回顾以上各例的求解过程，同学们一定体会到了运用椭圆令￡=—，将①代入此式可得￡=z+Y+1，即t一1十V—l型不等式求解相关问题的类型、思路和方法、技巧=+Y．由定理得(t一1)=(十Y)≤2，由于这种解法，具有思路简单明了，运算量小，操作性强，即1一≤t≤1+应用广泛等特点，值得重视．[重庆市云阳江口中学校(404506)]所以的最小值为l一