分形的推广、应用和某些基本问题.pdf

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1、2014年1O月枣庄学院学报0ct．2014第3l卷第5期JOURNALOFZAOZHUANGUNIVERSITyV0l_31N0．5分形的推广、应用和某些基本问题张一方(云南大学物理系，云南昆明650091)[摘要]首先简要介绍分形和自相似性．其次讨论分形的推广，包括笔者提出的复数维．第三探讨分形的某些应用，包括应用于社会科学和文学．第四研究分形中的若干基本问题，特别是分维、分形中量纲的奇异性，D维分形物体的量纲是不同的(cm)D．最后探索宇观一微观分形、泛量子理论和对分形的展望．[关键词]分形

2、；复数维；应用；量纲；泛量子理论[中图分类号]0412．1[文献标识码]A[文章编号]1004—7077(2014)05—0001—080分形和自相似性分形(fracta1)理论正式创立至今30多年，在这短短的期间，它已经取得了重大的理论进展，被广泛地应用于众多的领域，迎来了万紫千红的大好春光．“春色弥漫溢天地”，从天文到地学，从各种自然科学到众多的社会科学都掀起了一浪高过一浪的分形热．分形是一种新兴的洞悉和思考自然界中复杂性和简单性统一的科学方法¨“]．自然分形具有自发性、深刻性和神秘性．微观世

3、界和宏观世界分形的自相似性，包括独特性和差异性的失似性(dis—similarity)，是动力学系统中所有复杂的内部反馈关系的产物．自相似性和分形的基本思想，应该说在中国或外国都是早已存在的．华夏最古老的经典《易经》就是基于相似性，对万物的归纳、分类．“仰则观象于天，俯则观法于地，⋯⋯近取诸身，远取诸物，于是始作八卦，⋯⋯以类万物之情．”人应当顺应自然，才能“与天相似故不违”．老子所言“治大国若烹小鲜”．中国哲学的阴阳、五行观都是应用类比性．佛教中更具有丰富的分形思想．唐代高僧，佛教天台宗创始人法

4、藏(643—712年)就明确提出“一即一切”，“一切即一”．宋代禅宗临济宗高僧方会(992—1046年)在《古尊宿语录》中进一步阐述了“一即一切”的思想，认为“一尘才举，大地全收”，“于一毫端，现宝王刹”．禅宗高僧玄觉在《永嘉证道歌》中说：“一性圆通一切性，一法遍含一切法．一月普现一切水，一切水月一月摄”．程朱理学从理的角度也论述了天地万物间“理”存在的普遍性和“理”相似的分形性．《菜根谭》中“一勺水便具四海水味，世法不必尽尝；千江月总是一轮月光，心珠宜当自朗”，更以诗的语韵描述了自相似性．古埃及

5、人相信一个精子就是一个极小的形体完整的人．古希腊阿尔克莽认为人是小宇宙，它和大宇宙相似．柏拉图在《蒂迈欧篇》中类比大宇宙和人，甚至推演出宇宙的结构和人体生理的相似性．莱布尼兹在《单子论(Monadology)》中假设，每个单子是一个灵魂，一切单子反映整个宇宙．佛经中说：“一沙一世界，一叶一如来．”外国诗人W．Blake在《天真之兆》中回应为：“一沙见世界，一花窥天堂，手心握无限，须臾纳永恒．”但是中外先贤的这些卓越思想只是一些定性的方法和推测，而分形则是一种定量的科学方法．1分形的推广非数学的、实

6、际存在或应用的分形都只在一定范围，即标度不变性区域成立．为了超[收稿日期]2014—07—01[基金项目]国家自然科学基金项目(项目编号：11164033)．[作者简介]张一方(1947一)，男，云南人，云南大学物理系教授，主要从事理论物理研究枣庄学院学报2014年第5期越这一区域，或突破整个系统只能有一个分维值的局限性，人们进行了一些探索．其中最著名的有多重分形(multifracta1)和广义维数(generalizeddimension)等．多重5-}形是为研究物理量或其它量的奇异分布而引入

7、的基本概念．一般地说，一个非均匀分形需要通过无穷多个广义维数D。(q>0)来表征．当q=O，1，2时，分别是最基本的分形维数、信息维数和关联维数．只有在均匀的情况下，这些维数都相等，变为通常的5-}形维数．多重分形又称多标度分形，它在不同的标度或不同的7b-向具有不同的分维值．它描述一个具有标度特性的分形体，在生长过程中不同层次的特征．每一个不同的层次用不同的参量表示．这些不同的参量构成一个集合，亦可理解为某个物理量．这个量在分形体上的分布就反映为多重分形谱．为了在数学上获得定量描述，将研究对象5

8、-}Y~都具有标度性的多个层次，或者线度不同的小区域，并用特征标度指数来表征，于是得到一个由不同的所组成的集合．由此可以研究一个正在演化中的结构．多重分形理论把大尺度分为许多小尺度的方法，从分形体的部分出发研究其整体特征的思想，这与热力学中把系统分成许多宏观小而微观大的子系统，及由局部看整体的物理思想是一致的．因此，多重分形的描述可以转化为热力学的形式，这种类比是一种重要的研究方法．经比较发现相应于能量，标度指数谱)作为一个连续函数相应于熵，由此还可以引入相应于温度、自由能和配分函