2020年初升高数学衔接专题10 圆（解析版）.doc

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1、初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题10圆本专题在初中、高中扮演的角色平面几何中直线与圆的位置关系包含的知识点较多，方法灵活，抓住核心概念和基本方法即可，对定理的本质要理解，看到相关已知能够联想到需要的定理，常常先分析所求问题的路径，找准方向，综合运用条件加以突破.直线与圆有三种位置关系：相离、相切和相交.相切和相交是代数与几何研究的重点.常用的结论包括：1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.2.弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.3.相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的

2、积相等4.切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项5.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等高中必备知识点1：直线与圆的位置关系设有直线和圆心为且半径为的圆，怎样判断直线和圆的位置关系？观察图3.3-1，不难发现直线与圆的位置关系为：当圆心到直线的距离时，直线和圆相离，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相切，如圆与直线；当圆心到直线的距离时，直线和圆相交，如圆与直线.在直线与圆相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径

3、；若直线不经过圆心，如图3.3-2，连结圆心和弦的中点的线段垂直于这条弦.且在中，为圆的半径，为圆心到直线的距离，为弦长的一半，根据勾股定理，有.当直线与圆相切时，如图3.3-3，为圆的切线，可得，，且在中，.如图3.3-4，为圆的切线，为圆的割线，我们可以证得，因而.典型考题【典型例题】在同一平面直角坐标系中有5个点：A（1，1），B（﹣3，﹣1），C（﹣3，1），D（﹣2．﹣2）．（1）画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P相的位置关系；（2）E点是y轴上的一点，若直线DE与⊙P相切，求点E的坐标．【答案】（1）见解析，点D在

4、⊙P上；（2）E（0，﹣3）．【解析】（1）如图所示：△ABC外接圆的圆心为（﹣1，0），点D在⊙P上；（2）连接PD，∵直线DE与⊙P相切，∴PD⊥PE，利用网格过点D做直线的DF⊥PD，则F（﹣6，0），设过点D，E的直线解析式为：y＝kx+b，∵D（﹣2，﹣2），F（﹣6，0），∴，解得：，∴直线DE解析式为：y＝﹣x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3，∴E（0，﹣3）． 【变式训练】在平面直角坐标系xOy中，对于P、Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P、Q两点为“等距点”，如图

5、中的P、Q两点即为“等距点”．（1）已知点A的坐标为（﹣3，1）①在点E（0，3）、F（3，﹣3）、G（2，﹣5）中，点A的“等距点”是　　；②若点B在直线y＝x+6上，且A、B两点为“等距点”，则点B的坐标为　　；（2）直线l：y＝kx﹣3（k＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点D．①若T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，且T1、T2为“等距点”，求k的值；②当k＝1时，半径为r的⊙O上存在一点M，线段CD上存在一点N，使得M、N两点为“等距点”，直接写出r的取值范围．【答案】（1）①E、F；②（﹣3，3）；（2）①

6、k的值为1或2；②≤r≤3．【解析】（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3，∴与A点是“等距点”的点是E、F．②点B在直线y＝x+6上，当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3），这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）．故答案为①E、F；②（﹣3，3）；（2）∵T1（﹣1，t1）、T2（4，t2）是直线l上的两点，∴t1＝﹣k﹣3，t＝4k﹣3．∵k＞0，∴

7、﹣k﹣3

8、＝k+3＞3，4k﹣3＞﹣3．依据“等距点”定义可得：当﹣3＜4k﹣3＜4时，k+3＝4，解得k＝1

9、；当4k﹣3≥4时，k+3＝4k﹣3，解得k＝2．综上所述，k的值为1或2．②∵k＝1，∴y＝x﹣3与坐标轴交点C（0，﹣3）、D（3，0），线段CD＝3．N点在CD上，则N点到x、y轴的距离最大值中最小数为，若半径为r的⊙O上存在一点M与N是“等距点”，则r最小值为，r的最大值为CD长度3．所以r的取值范围为≤r≤3．故答案为E、F；（﹣3，3） 【能力提升】如图，在平面直角坐标系中，已知点．请在图中作出经过点A、B、C三点的，并写出圆心M的坐标；，试判断直线BD与的位置关系，并说明理由．【答案】如图所示见解析，圆心M的坐标为直线B

10、D与相切，理由见解析.【解析】如图所示，即为所求．由图知，圆心M的坐标为；连接MB，DB，DM，，，是直角三角形，，即，直线BD与相切． 高中必备知识点2：点的轨迹在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是