2020年初升高数学衔接专题02 分解因式（解析版）.doc

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1、初高中天衣无缝衔接教程（2020版）专题02分解因式本专题在初中、高中扮演的角色因式分解是代数式的一种重要恒等变形，它是学习分式的基础，又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用，通过本专题的学习，不仅能使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为继续学习因式分解做好了充分的准备.因此，它起到了初、高中承上启下的作用.分组分解法在初中数学中的应用：分式的约分与通分、解一元二次方程、分式方程；在高中数学中的应用更加广泛：如无理方程、特殊的高次方程，解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形，不等式证明，因此，学好因式分解对于代数知识

2、的后续学习，具有相当重要的意义，代数方面在数学计算、化简、证明题中的应用较多，在几何学中同样有应用.用十字相乘法分解因式，首先分解二次项系数、常数项，然后交叉相乘再相加，看是否为一次项系数，还要注意避免出现以下两种错误：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘法写出的因式漏写字母.因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．高中必备知识点1：十字相乘法要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对

3、于二次三项式，若存在，则.要点诠释：（1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则同号(若，则异号)，然后依据一次项系数的正负再确定的符号；（2）若中的为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式(≠0)中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下：按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即.要

4、点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间”（2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.典型考题【典型例题】阅读与思考：将式子分解因式．法一：整式乘法与因式分解是方向相反的变形.由，；分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以.解：.法二：配方的思想..请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）用两种方法分解因式：；（2）任选一种方法分解因式：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）法一：,法二：,（2）.或.【变式训练】阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+

5、（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．【答案】（1）（2）；（3）（4）.【解析】解：；；；．故答案为：(1)(2)；(3)(4).【能力提升】由多项式的乘法：(x＋a)(x＋b)＝

6、x2＋(a＋b)x＋ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)．实例　分解因式：x2＋5x＋6＝x2＋(2＋3)x＋2×3＝(x＋2)(x＋3)．(1)尝试　分解因式：x2＋6x＋8；(2)应用　请用上述方法解方程：x2－3x－4＝0.【答案】(1)(x+2)(x＋4)；(2)x＝4或x＝－1.【解析】(1)原式=(x+2)(x＋4)；　(2)x2－3x－4＝(x－4)(x＋1)＝0，所以x－4＝0或x＋1＝0，即x＝4或x＝－1.高中必备知识点2：提

7、取公因式法与分组分解法1.提取公因式法：如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外面，把多项式转化成公因式与另一个多项式的积的形，这种因式分解的方法叫做提公因式法。2.符号语言：3.提公因式的步骤：（1）确定公因式（2）提出公因式并确定另一个因式（依据多项式除以单项式）4.注意事项：因式分解一定要彻底典型考题【典型例题】阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)2(1+x)=(1+x)3(1)上述分解因式的方法是，共应用了

8、次.(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2004，则需应用上述方法次，结果是.(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数).【答案】（1）提公因式，两次；（2）2004次，（x＋1）；(3)(x＋1)【解析】（1）上述