勾股定理常见题型.doc

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1、有关勾股定理常见题型东北师范大学教育科学学院摘要：勾股定理在初中数学中是一个非常重要的定理，常用于解直角三角形试题，涉及到边的计算、角的计算、直角三角形的判定、翻折、爬行、图形变换、实际应用等题型，熟练掌握有关勾股定理的常见题型的解法对我们学生学好勾股定理这一节的内容有着很大的帮助。关键词：勾股定理题型勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：，如下图，a、b为直角边，c为斜边。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数

2、学思想，将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。（一）边的计算1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c=．解：因为，所以c=10。评论：直接由勾股定理所以得2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高CD的长为（）A．B．C．D．解：由勾股定理知：AB=5，又因为S△ABC=AC×BC=AB×CD即：×3×4=×5×CD,所以CD=评论：通过勾股定理求出斜边，再利

3、用面桥关系求出斜边上的高。3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13B．13或C．13或15D．15解：当12对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由得第三边的长为13评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）A、121B、120C、132D、不能确定解：设该Rt△的三边分别为a、b、c，a、b为直角边，c为斜边由勾股定理知：，即：112＋b2=c2所以（b+c）（c－

4、b）=121因为b、c都为自然数，所以b+c，c－b，都为正自然数。又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c－b=1。所以b=60，c=61评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。（一）直角三角形的判定5、在△ABC中中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，给出如下的命题：①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，则△ABC为直角三角形；③若，，则△ABC为直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，则

5、△ABC为直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC为直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，则△ABC为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15,则△ABC为直角三角形。　　　　　　　　　　上面的命题中正确的有（　　　　）A．6B．7C．8D．9解：对①，因为三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C＝180°，因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠C=180°×所以∠C=90°则△ABC为直角三角形，①正确。对②，因为∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠C一∠B，所以∠C一∠B+∠B+∠C

6、＝180°所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形，②正确。对③，设a=5k，因为，，则c=4k，C2＋b2=a2所以为△ABC直角三角形.③正确，同理易知④正确，对⑤，因为（a＋c）（a－c）＝b2所以a2–c2=b2，所以△ABC为直角三角形．⑤正确，对⑥，因为(a＋c)2＝2ac＋b2，所以a2+c2+2ac=2ac＋b2所以a2+c2=b2正确，对⑦，因为ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,ＡＣ＝15，所以AB2+AC2=BC2所以正确。答案选B评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从

7、边来判定需结合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。图18-1（二）翻折6、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．解：设DE为x，因为DE是由BE翻折过来的，所以DE=BE=x,则AE=10－x，在Rt△ABD中：AD2+AE2=DE2所以：42+（10－x）2=x2解得x=5.8cm评论：翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，抓住这些不变的量，以此为

8、突破口便可以顺利解决。本题的不变量是DE和BE的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。（三）爬行7．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的点处的食物，需要爬行的最短路程是cm．（取3）解：蚂