高等数学定积分的几何应用~ppt课件.ppt

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1、2.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为对应从0变例5.计算阿基米德螺线解:到2所围图形面积.例6.计算心形线所围图形的面积.解:(1)曲线弧由直角坐标方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长二、平面曲线的弧长例11.计算摆线一拱的弧长.解:例12.求阿基米德螺线相应于0≤≤2一段的弧长.解:三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,特别,当考虑连续曲线段一周围成的立体体积时,有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体

2、体积时,有例13.计算由椭圆所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.解:方法1利用直角坐标方程则方法2利用椭圆参数方程则特别当b=a时,就得半径为a的球体的体积例15.设在x≥0时为连续的非负函数,且形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证:利用柱壳法则例16.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.思考:可否选择y作积分变量?此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:第三节一、变力沿直线所作的功二、液体的侧压力三、引力问题定积分在物理学上的应用一、变

3、力沿直线所作的功设物体在连续变力F(x)作用下沿x轴从x＝a移动到力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在其上所作的功元素为因此变力F(x)在区间上所作的功为例1.一个单求电场力所作的功.解:当单位正电荷距离原点r时,由库仑定律电场力为则功的元素为所求功为位正电荷沿直线从距离点电荷a处移动到b处(a

4、气例3.试问要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:建立坐标系如图.在任一小区间上的一薄层水的重力为这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为故所求功为(KJ)设水的密度为(KN)一蓄满水的圆柱形水桶高为5m,底圆半径为3m,面积为A的平板二、液体侧压力设液体密度为深为h处的压强:当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决.平板一侧所受的压力为••小窄条上各点的压强例4.的液体,求桶的一个端面所受的侧压力.解:建立坐标系如图.所论半圆的利用对称性,侧压力元素端面所受侧压力为方程为一水平横放的半径为R的圆桶,内盛半桶密度为三、引力问题质量分别为的质点,相距r,二者间的引力:

5、大小:方向:沿两质点的连线若考虑物体对质点的引力,则需用积分解决.例5.设有一长度为l,线密度为的均匀细直棒,其中垂线上距a单位处有一质量为m的质点M,该棒对质点的引力.解:建立坐标系如图.细棒上小段对质点的引力大小为故垂直分力元素为在试计算利用对称性棒对质点引力的水平分力故棒对质点的引力大小为棒对质点的引力的垂直分力为例14.计算摆线的一拱与y＝0所围成的图形分别绕x轴,y轴旋转而成的立体体积.解:绕x轴旋转而成的体积为利用对称性绕y轴旋转而成的体积为注意上下限!注2.试用定积分求圆绕x轴上半圆为下求体积:提示:方法1利用对称性旋转而成的环体体积V方法2用柱壳法说明:上式可变形为上半圆为下

6、此式反映了环体微元的另一种取法(如图所示).xa圆上任一点所画出的曲线。5.旋轮线一圆沿直线无滑动地滚动，x来看动点的慢动作圆上任一点所画出的曲线。.一圆沿直线无滑动地滚动，5.旋轮线2a2a0yxax=a(t–sint)y=a(1–cost)t的几何意义如图示ta当t从02，x从02a即曲线走了一拱a圆上任一点所画出的曲线。5.旋轮线.一圆沿直线无滑动地滚动，单摆.6.旋轮线也叫摆线x=a(t–sint)y=a(1–cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板两个旋轮线形状的挡板,使摆动周期与摆幅完全无关。在17世纪，旋轮线即以此性质出名，所以旋轮线又称摆线。单摆.6.旋轮线也

7、叫摆线x=a(t–sint)y=a(1–cost)将旋轮线的一拱一分为二，并倒置成挡板x=a(t–sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下沿曲线从固定点A滑到固定点B，当曲线是什么形状时所需要的时间最短？y=a(1–cost)7.旋轮线是最速降线生活中见过这条曲线吗？x=a(t–sint)BA答案是：当这曲线是一条翻转的旋轮线。最速降线问题:质点在重力作用下