第4讲量子力学ppt课件.pptx

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1、第三章一维势场中的粒子用Schrödinger方程来处理一类简单的问题—一维定态问题，其好处有：（1）有助于具体理解量子力学的基本原理；（2）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来；（3）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。内容概要：3.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质3.2方势（势阱、势垒）3.3δ势3.4一维谐振子第1页3.1一维势场中粒子能量本征态的一般性质设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则Schrödinger方程为，对于定态(能量E)，波函数表为ψ(x)满足一维粒子的能量本征方程第2页我们想找出它在整

2、个区间有限、连续，可微的解。但这些解要根据具体物理问题的边条件来定出。能量本征方程解的一般性质定理1设ψ(x)是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则ψ*(x)也是方程（1）对应能量为E的解。证明：取复共轭ψ*(x)也满足方程(1)，对应能量为E。第3页假设对应于某个本征值E，(1)的解无简并（即只有一个独立的解），则可取为实解。证明：ψ(x),ψ*(x)均为(1)对应E的解，由于无简并，则有ψ*(x)=Cψ(x),C为常数。取复共轭，ψ(x)=C*ψ(x)*=C*Cψ(x)，所以

3、C

4、=1，则C=eia,a为实数。取新波函数为ψn(x)=eia/2ψ(x)，则(ψn(x))*=e-

5、ia/2ψ*(x)=e-ia/2eiaψ(x)=eia/2ψ(x)=ψn(x)。第4页定理2对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。证明：假设ψ(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理1，ψ*(x)也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加也是方程属于E的解，均为实解，且第5页定理3设V(x)具有空间反射不变性，V(-x)=V(x)，如设ψ(x)是方程（1）对应E的一个解，则ψ(-x)也是方程对应于E的解。证明：对方程,有则ψ(-x)也是（1）对应于E的解第6页空间反射算符P定义为Pψ(x)=ψ

6、(-x)，按定理3，若V(-x)=V(x)，则ψ(-x)和ψ(x)都是对应E的量子态。若对应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即偶宇称Pψ(x)=ψ(-x)=ψ(x)，或者奇宇称Pψ(x)=ψ(-x)=-ψ(x)。证明：由于无简并，Pψ(x)=ψ(-x)=Cψ(x)P2ψ(x)=PCψ(x)=C2ψ(x),P2ψ(x)=ψ(x),则有C2=1，C=±1。若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。第7页定理4若V(-x)=V(x)，则对应于任何一个能量本征值，总可以找到(1)的一组解，每一个解都具有确定宇称，而属于E的任何解，都可以用这组解展开。证明：设ψ(x)是(1)的一个

7、解，根据定理3，ψ(-x)也是方程的一个解，取f(x)=ψ(x)+ψ(-x),g(x)=ψ(x)-ψ(-x)f(x),g(x)具有确定宇称。ψ(x)=[f(x)+g(x)]/2,ψ(-x)=[f(x)–g(x)]/2。第8页波函数ψ(x)及其各阶导数连续性波函数ψ(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连续函数，按方程(1)，ψ”(x)存在，因此ψ(x)和ψ’(x)为x的连续函数。但若V(x)不连续（存在奇异性），则ψ(x)和各阶导数的连续性问题需要具体分析。第9页定理5对于阶梯性方位势V2-V1有限，则能量本征函数ψ(x)及其导数ψ’(x)必定是连续的。证明：根据方程在V(x

8、)连续的区域，ψ(x)及ψ’(x)必然连续。在V(x)发生阶梯跃变处，V(x)ψ(x)发生跃变，但变化是有限的。上式对x~a积分，有第10页[E-V(x)]ψ(x)是有限的，当时，右边积分为0。因此，ψ’(x)在x=a点连续，ψ(x)也是连续的。第11页定理6对于一维粒子，设ψ1(x),ψ2(x)均为方程（1）的属于同一能级E的解，则证明：按假设，ψ1×(4)–ψ2×(3)第12页对于束缚态粒子，定理7设粒子在规则势场V(x)中运动，若存在束缚态，则必定是不简并的。证明：设ψ1(x),ψ2(x)是方程(1)属于能级E的两个束缚态解，则有在不包含ψ1(x),ψ2(x)节点的区域中，用ψ1ψ2

9、除上式，的积分得V(x)无奇点，ψ(x)和ψ’(x)连续。ψ1(x),ψ2(x)代表同一量子态。第13页3.2方势精确求解一些简单的方形势的本征值问题。经典运动和量子运动的主要不同点特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反射、共振和势垒贯穿现象。第14页当普朗克常数可以忽略时，对一个粒子的量子描述可以转化为经典描述。在经典近似中，波动性显示不出来，是因为与粒子相联系的波长甚小于粒子运动的特征长度这种情况和