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1、小结思考题作业空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线第六节微分法在几何上的 应用第八章多元函数微分法及其应用1设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1.空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面微分法在几何上的应用2考察割线趋近于极限位置——上式分母同除以割线的方程为切线的过程微分法在几何上的应用3曲线在M处的切线方程切向量法平面切线的方向向量称为曲线的切向量.过M点且与切线垂直的平面.微分法在几何上的应用4设曲线直角坐标方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为曲线的参数方程是由前面得到的结果,在M(x0,y0,z0)处,令切线方程为
2、x为参数,两个柱面的交线微分法在几何上的应用5解切线方程法平面方程例即微分法在几何上的应用6例在抛物柱面与的交线上,求对应的点处的切向量.x为参数,于是解所以交线上与对应点的切向量为:交线的参数方程为取微分法在几何上的应用7设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组两边分别对表示.)x求全导数:两个曲面的交线微分法在几何上的应用8利用2.结果,两边分别对x求全导数微分法在几何上的应用9法平面方程为切线方程为在点M(x0,y0,z0)处的微分法在几何上的应用10解例切线方程和法平面方程.法一直接用公式;令微分法在几何上的
3、应用11法平面方程切线方程微分法在几何上的应用12切线方程法二将所给方程的两边对x求导切线方程和法平面方程.法平面方程微分法在几何上的应用13设曲线练习证因原点即于是证明此曲线必在以原点为的法平面都过原点,在任一点中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为故有微分法在几何上的应用在法平面上,任取曲线上一点14今在曲面Σ上任取一条1.设曲面Σ的方程为的情形隐式方程二、曲面的切平面与法线微分法在几何上的应用函数的偏导数在该点连续且不同时为零.点M对应于参数不全为零.过点M的曲线Γ,设其参数方程为15微分法在几何上的应用由于曲线Γ在曲面Σ上,所以在恒等式两
4、端对t求全导数,并令则得若记向量曲线Γ在点M处切线的方向向量记为则※式可改写成即向量垂直.※16因为曲线Γ是曲面Σ上过点M的任意一条曲线,所有这些曲线在点M的切线都与同一向量垂直,因此这些切线必共面,称为曲面Σ在点M的微分法在几何上的应用过点M且垂直于切法线,又是法线的方向向量.向量称为曲法向量.切平面,由切线形成的这一平面,平面的直线称为曲面Σ在点M的面Σ在点M的17曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量:微分法在几何上的应用切平面方程为法线方程为所以曲面Σ上在点M的18解令切平面方程法线方程例∥切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量:微分法在
5、几何上的应用19上求一点的坐标,使此点处的切平面平行于yOz平面.解设所求点为则切平面的法向量为∥练习由题意,∥由此得所求之点:微分法在几何上的应用202.曲面方程形为的情形曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令或显式方程微分法在几何上的应用21例证则法向量为切平面方程为微分法在几何上的应用22所以这些平面都过原点.微分法在几何上的应用23微分法在几何上的应用2003年考研数学(一),3分平行的切平面的方程是().练习24例证的所有切平面都与一常向量平行.则曲面在任一点处的法向量:则即所以,所有的切平面均与平行.曲面在M处的法向量:取微分
6、法在几何上的应用25例证过直线L的平面束方程为即其法向量为微分法在几何上的应用求过直线L且与曲面相切之切平面方程.26设曲面与切平面的切点为则过直线L的平面束方程其法向量为因而微分法在几何上的应用27过直线L的平面束方程为故所求切平面方程为或即或微分法在几何上的应用28令∥解切线方程和法平面方程.应同时垂直于分析曲线在点处切线向量s微分法在几何上的应用例当空间曲线方程为一般式时,求切向量曾采用了推导法.现采用向量代数法求切向量29∥令∥切线方程和法平面方程.微分法在几何上的应用30因为曲面在M处的切平面方程:全微分的几何意义表示切平面上的点的竖坐标
7、的增量.切平面上点的竖坐标的增量微分法在几何上的应用31其中法向量表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使得它与z轴的正向所成的角是锐角,则法向量的方向余弦为微分法在几何上的应用32因为(第三个分量为负),思考求旋转抛物面在任意点P(x,y,z)处向上的法向量(即与z轴夹角为锐角的法向量).解而为向下的法向量故向上的法向量应为:微分法在几何上的应用331993年研究生考题,填空,3分解令练习微分法在几何上的应用得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为().旋转面方程为34空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线微分法在几何上的应
8、用三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法.当空间曲线方程为一般式时,求切向量可采用公式法、推导法或用向量代
