2022年高三毕业班数学常考点与变式演练07 幂函数与二次函数（解析版）

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1、专题07幂函数与二次函数专题导航目录常考点01幂函数的图象及性质1常考点02利用幂函数比较大小3常考点03幂函数综合问题6常考点04二次函数单调性的应用9常考点05含参的二次函数最值问题11常考点06二次函数中的恒成立（存在）问题14常考点07二次函数中的综合问题17易错点01忽略x2的系数为0的情况21易错点02不理解二次函数在闭区间上恒成立的条件致误22专项训练（全卷共22题）24专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点归纳常考点01幂函数的图象及性质【典例1】（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）幂函数在

2、为增函数，则的值是（）A．B．C．或D．或【答案】B【分析】由幂函数解析式的形式可构造方程求得或，分别验证两种情况下在上的单调性即可得到结果.【详解】为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.故选：B.【典例2】（2021·湖北高三课时练习）下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是　　A．①，②，③，④B．①，②，③，④C．①，②，③，④D．①，②，③，④【答案】B【分析】通过②的图象的对称性判断出②对应的函数是偶函数；①对应的幂指数大于1，通过排除法

3、得选项．【详解】解：②的图象关于轴对称，②应为偶函数，故排除选项，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除故选：．【点睛】本题考查幂函数的性质、考查幂函数的图象取决于幂指数，属于基础题．【技巧点拨】1）形如y＝xα的函数叫幂函数，注意：(1)系数为1，(2)指数为一常数，(3)后面不加任何项．例如y＝3x、y＝xx＋1、y＝x2＋1均不是幂函数，再者注意与指数函数的区别，例如：y＝x2是幂函数，y＝2x是指数函数．2）函数y＝xα的形式的图象都过点(1,1)．单调性要牢记第一象限的图

4、象特征：当α>0时，第一象限图象是上坡递增；当α＜0时，第一象限图象是下坡递减．然后根据函数的奇偶性确定y轴左侧的增减性即可．3）幂函数y＝xα的形式特点是“幂指数坐在x的肩膀上”，往往利用待定系数法，求幂指数，得到函数解析式，进一步解题.【变式演练1】（2021·上海市青浦高级中学高三模拟）已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．【答案】﹣1【分析】由幂函数的性质求解即可【详解】因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负数，因为，

5、所以，故答案为：【变式演练2】（2021·沭阳县修远中学.高三模拟）已知函数的图象过点（3，27），下列说法正确的是（）A．函数的图象过原点B．函数是奇函数C．函数是单调减函数D．函数的值域为【答案】ABD【分析】利用代入法，结合幂函数的性质进行判断即可.【详解】因为函数的图象过点（3，27），所以，A：因为，所以函数的图象过原点，因此本说法正确；B：因为，所以函数是奇函