2022年高三毕业班数学常考点21 空间中的角度（长度）与空间向量（原卷版）

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1、专题21空间中的角度（长度）与空间向量专题导航目录常考点01异面直线的夹角问题1常考点02线面角问题6常考点03面面角问题13常考点04空间距离问题22常考点05空间几何中的数学文化与新定义29常考点06空间几何中的折叠问题35常考点07空间几何中的轨迹问题42易错点01混淆空间角与两向量的夹角47易错点02误认为两平面法向量的夹角就是二面角48专项训练（全卷共22题）51专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点归纳常考点01异面直线的夹角问题【典例1】（2021·陕西宝鸡市·高三三模）已知圆锥的顶点为，高和底面的半径之比为，

2、设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【典例2】（2021·漠河市高三月考）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【技巧点拨】提醒：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．【变式演练1】（2021·陕西西安市·高三模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的

3、余弦值为（）A．B．C．D．【变式演练2】（2021·江苏省苏州高三月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为__________；异面直线所成角的余弦为__________.【变式演练3】（2021·天津高二期末）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为DD1，BD的中点，点G在CD上，且CG＝CD.（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成角的余弦值.常考点02线面角问题【典例1】（2020·北京高考真题）如图，在正方体中，E为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ

4、）求直线与平面所成角的正弦值．【典例2】（2021·浙江高考真题）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，M，N分别为的中点，.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【技巧点拨】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角.【变式演练1】（2021·福建三明市·三明一中高三模拟）如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，四边形为直角梯形，其中

5、，，，E是的中点．（1）求证：（2）若，求直线与平面所成的角的正弦值．【变式演练2】（2021·山东高三其他模拟）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面平面，中，，，E，F分别是，的中点.（1）求证：平面；（2）记平面与平面的交线为直线l，点Q为直线l上动点，求直线与平面所成的角的取值范围.【变式演练3