2022年高三毕业班数学常考点21 空间中的角度（长度）与空间向量（解析版）

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1、专题21空间中的角度（长度）与空间向量专题导航目录常考点01异面直线的夹角问题1常考点02线面角问题6常考点03面面角问题13常考点04空间距离问题22常考点05空间几何中的数学文化与新定义29常考点06空间几何中的折叠问题35常考点07空间几何中的轨迹问题42易错点01混淆空间角与两向量的夹角47易错点02误认为两平面法向量的夹角就是二面角48专项训练（全卷共22题）51专项训练：按新高考真题的试题量和难度标准编写常考点归纳常考点01异面直线的夹角问题【典例1】（2021·陕西宝鸡市·高三三模）已知圆

2、锥的顶点为，高和底面的半径之比为，设是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设圆锥底面圆的圆心为，设圆锥的底面圆的半径为，以圆锥底面圆的圆心为原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：72/75学科网（北京）股份有限公司则、、、，，，所以，，，所以，，因此，异面直线与所成的角为.故选：A.【典例2】（2021·漠河市高三月考）如图所示，正方体中，点分别在上，，，则与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】72/75

3、学科网（北京）股份有限公司以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为3，则，，设EF与所成的角为，则故选：C【技巧点拨】提醒：两异面直线所成角θ的范围是，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当两异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是这两条异面直线所成的角；当两异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是两异面直线所成的角．【变式演练1】（2021·陕西西安市·高三模拟（理））已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析

4、】设三棱柱的棱长为，，为的中点，则，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：72/75学科网（北京）股份有限公司则点、、，所以，，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.【变式演练2】（2021·江苏省苏州高三月考）由两块直角三角形拼成如图所示的空间立体图形，其中，当时，此时四点外接球的体积为__________；异面直线所成角的余弦为__________.【答案】；.【解析】求得，取的中点，由得点是四面体外接球的球心，外接球半径，进而可得外接球的体积；证得平

5、面，建系如图，由空间向量的夹角公式可得结果.【详解】依题意可知，，当时，，则，取的中点，则；又，则，所以，即点是四面体外接球的球心，外接球半径，故外接球的体积.依题意，，当时，，则，又，且72/75学科网（北京）股份有限公司，所以平面.以点为原点，为轴，轴建立空间直角坐标系如图.过点作于点，由得，则，所以，又，，，则，.设异面直线，所成的角为，则.故答案为：①；②.【变式演练3】（2021·天津高