湖北省2020年高考数学 第21题优美解

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此资料由网络收集而来,如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享,我们负责传递知识。2020年高考数学(湖北B卷)第21题(理)优美解 试题21.设是单位圆上的任意一点,是过点与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线.(Ⅰ)求曲线的方程,判断曲线为何种圆锥曲线,并求其焦点坐标;(Ⅱ)过原点且斜率为的直线交曲线于,两点,其中在第一象限,它在轴上的射影为点,直线交曲线于另一点.是否存在,使得对任意的,都有?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.解法(Ⅰ)如图1,设,,则由,可得,,所以,.①因为点在单位圆上运动,所以.②将①式代入②式即得所求曲线的方程为.因为,所以当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,;当时,曲线是焦点在轴上的椭圆,两焦点坐标分别为,.(Ⅱ)解法1:如图2、3,,设,,则,,直线的方程为,将其代入椭圆的方程并整理可得.依题意可知此方程的两根为,,于是由韦达定理可得,即.因为点H在直线QN上,所以.于是,.而等价于,即,又,得,n此资料由网络收集而来,如有侵权请告知上传者立即删除。资料共分享,我们负责传递知识。故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.图2图3图1ODxyAM第21题解答图解法2:如图2、3,,设,,则,,因为,两点在椭圆上,所以两式相减可得.③依题意,由点在第一象限可知,点也在第一象限,且,不重合,故.于是由③式可得.④又,,三点共线,所以,即.于是由④式可得.而等价于,即,又,得,故存在,使得在其对应的椭圆上,对任意的,都有.解法赏析:开放型试题一定要注意其存在性,否则容易出现错误。
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