高中数学 第二章 函数 2.1 函数 2.1.4 函数的奇偶性教学素材 新人教B版必修1（通用）

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1、2.1.4函数的奇偶性教学建议1.判断函数的奇偶性,一般有以下几种方法:(1)定义法.若函数的定义域不是关于原点对称的区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数;若函数的定义域是关于原点对称的区域,再判断f(-x)是否等于±f(x),或判断f(x)±f(-x)是否等于零,或判断是否等于±1.如不成立,则为非奇非偶函数.若f(-x)=-f(x)成立则为奇函数.若f(-x)=f(x)成立则为偶函数.有些题目,需先化简f(x)的表达式,观察其特点,然后再进行判断.例如f(x)=的奇偶性.可先由4-x2≥0得-2

2、≤x≤2,将函数化简为f(x)=再判断.(2)图象法.奇(偶)函数的图象关于原点(或y轴)对称.反之,也成立.(3)性质法.偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数;奇函数的和、差仍为奇函数;奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数;一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数.(4)特值法.起探路及判定否命题等作用.一方面,若f(-1)=±f(1),则f(x)可能是偶(奇)函数;另一方面,若f(-1)≠±f(1),则f(x)一定不是偶(奇)函数.注:利用上述结论时要注意各函数的定义域.2.函数按奇偶

3、性分类(1)有的函数是奇函数.(2有的函数是偶函数.(3)如果对于函数定义域内任一个x,f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)同时成立,那么函数f(x)既是奇函数又是偶函数.既奇且偶函数的表达式是唯一的:f(x)=0,x∈A,定义域A是关于原点对称的非空数集.(4)有的函数既不是奇函数又不是偶函数.备用习题1.设函数f(x)的定义域为(-∞,+∞),对于任意x、y∈(-∞,+∞),都有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时f(x)<0,则函数f(x)为()A.奇函数,且在

4、(-∞,+∞)上为增函数B.奇函数,且在(-∞,+∞)上为减函数C.偶函数,且在(-∞,0)上为增函数,在(0,+∞)上为减函数D.偶函数,且在(-∞,0)上为减函数,在(0,+∞)上为增函数解析：令y=x=0可得f(0)=0.再令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)=0,∴f(x)为奇函数.又设x2>x1,f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)<0,∴f(x2)<f(x1).∴f(x)在R上是减函数.故选B.答案：B2.设f(x)是定义

5、在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线x=对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=_________.解析：f(x)是定义在R上的奇函数,说明原点是一个对称中心,图象又关于直线x=对称,所以点(1,0)也是对称中心,并且f(x+2)=f(x)恒成立,结合函数图象得f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=f(5)=0.则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=0.答案：03.设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x)、g(x)的解析式.解析：∵f

6、(x)是偶函数,g(x)是奇函数,∴f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),由f(x)+g(x)=,①用-x代换x得f(-x)+g(-x)=,