第16章 三角形的“四心”-2019年初升高数学衔接课程 （教师版含解析）

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1、第16章三角形的“四心”【知识衔接】————初中知识回顾————1、重心：三角形的三条中线交点．2、外心：是三角形三边中垂线的交点．3、内心：是三角形的三内角平分线的交点．4、垂心：是三角形三条高的交点．————高中知识链接————1、重心：它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将△ABC的面积三等分，重心一定在三角形内部．2、外心：它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外．学-科网3、内心：它到三边的距离相等，内心一定在三角形内．4、垂心：垂心和三角形的三个顶点，三条高

2、的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外．【经典题型】初中经典题型例1：求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1．已知：D、E、F分别为三边BC、CA、AB的中点，[来源:学科网]求证：AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1．证明：连结DE，设AD、BE交于点G，D、E分别为BC、AE的中点，则DE//AB，且，∽，且相似比为1：2，．设AD、CF交于点，同理可得，则与重合，AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成．例2：已知的三边长分别为，I为的内心，且I在的

3、边上的射影分别为，求证：．证明：作的内切圆，则分别为内切圆在三边上的切点，例3：已知：O为的重心和内心，求证：为等边三角形．证明：如图，连AO并延长交BC于D，O为三角形的内心，故AD平分，(角平分线性质定理)O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC．，即．同理可得，AB=BC．为等边三角形．[来源:Zxxk.Com]例4：已知：中，AD与BE交于H点．求证：．高中经典题型1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为　　　　，重心到垂心的距离为　　　　　．【答案】6.5，2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径＝　　

4、　　　．【答案】23、在△ABC中，∠A是钝角，O是垂心，AO＝BC，则cos(∠OBC+∠OCB)=．【答案】4、设G为△ABC的重心，且AG＝6，BG＝8，CG＝10，则△ABC的面积为　　　　．【答案】725、若，那么以、、为三边的△ABC的内切圆，外接圆的半径之和为　　　　　．A、B、C、D、【答案】A【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1．在三角形内部，到三角形三边距离相等的点是()A．三条中线的交点B．三条高线交点C．三个内角平分线交点D．三边垂直平分线交点【答案】C【解析】试题解析：如图，∵OG⊥AB，OF⊥AC，OG=OF，∴

5、O在∠A的平分线上，同理O在∠B的平分线上，O在∠C的平分线上，即O是三条角平分线的交点，故选C．2．已知等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，G是△ABC的重心，那么AG=_____．【答案】【解析】分析：如图延长AG交BC于H．利用等腰三角形的