第19章 相似形-2019年初升高数学衔接课程 (教师版含解析)

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1、第19章相似形【知识衔接】————初中知识回顾————相似三角形的判定(1)两角对应相等的两个三角形相似(AAA).[来源:学.科.网][来源:学&科&网][来源:学|科|网Z|X|X|K]如图,若∠A=∠D,∠B=∠E,则△ABC∽△DEF.[来源:Z_xx_k.Com][来源:学科网ZXXK](2)两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似.如图,若∠A=∠D,,则△ABC∽△DEF.(3)三边对应成比例的两个三角形相似.如图,若,则△ABC∽△DEF.相似三角形的性质(1)对应角相等,对应边成比例.(2)周长之比等于相似比,面积之比等于相似比

2、的平方.(3)相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比等于相似比.————高中知识链接————1.(1)相似三角形的判定主要是依据三个判定定理,结合定理创造条件建立对应边或对应角的关系.(2)注意辅助线的添加,多数作平行线.(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素,如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等.2.涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段,常利用圆周角或弦切角证明三角形相似,在相似三角形中寻找比例线段;也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例,在实际应用中,一般涉及两条相交弦应首先考虑相

3、交弦定理,涉及两条割线就要想到割线定理,见到切线和割线时要注意应用切割线定理.【经典题型】初中经典题型1、已知:四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,对角线AC、BD交于点E,点F在边BC上,且∠BEF=∠BAC.(1)求证:△AED∽△CFE;(2)当EF∥DC时,求证:AE=DE.【分析】(1)首先根据已知得出∠ABD=∠FEC,以及∠DAE=∠ECF,进而求出△AED∽△CFE,n(2)根据相似三角形的判定得出△AEB∽△DEC,再利用相似三角形的性质解答即可.∴∠FEC=∠ADB,∵AD∥BC,∴∠DAE=∠ECF,∴△AED∽△CFE;(2)∵EF

4、∥DC,∴∠FEC=∠ECD,∵∠ABD=∠FEC,∴∠ABD=∠ECD,∵∠AEB=∠DEC.∴△AEB∽△DEC,∴,∵AD∥BC,∴,∴.即AE2=DE2,∴AE=DE.2、某一天,小明和小亮来到一河边,想用平面镜和皮尺测量这条河的大致宽度,两人在确保无安全隐患的情况下,现在河岸边选择了一点C(点C与河对岸岸边上的一棵树的底部点B所确定的直线垂直于河岸).小明到F点时正好在平面镜中看到树尖A,小亮在点D放置平面镜,小亮到H点时正好在平面镜中看到树尖A,且F、D、H均在BC的延长线上,小明的眼睛距地面的高度EF=1.5m,小亮的眼睛距地面的高度GH=1.6m,

5、测得CF=1m,DH=2m,CD=8.4m,AB⊥BH,EF⊥BH,GH⊥BH,根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽BC是多少米?n【分析】根据题意求出△ABC∽△EFC,△ABD∽△GHD,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解析】由题意可得:∠ACB=∠ECF,∠ADB=∠GDH.∵AB⊥BH,EF⊥BH,GH⊥BH,∴∠ABC=∠EFC=∠CHD=90°,∴△ABC∽△EFC,∴=,即=.∵∠ADB=∠GDH,∠ABC=∠GHD=90°,∴△ABD∽△GHD,∴=,即=,解得BC=9.6m.答:河宽BC是9.6m.3、在正方形ABCD中,AB=

6、8,点P在边CD上,tan∠PBC=,点Q是在射线BP上的一个动点,过点Q作AB的平行线交射线AD于点M,点R在射线AD上,使RQ始终与直线BP垂直.(1)如图1,当点R与点D重合时,求PQ的长;学-科网(2)如图2,试探索:的比值是否随点Q的运动而发生变化?若有变化,请说明你的理由;若没有变化,请求出它的比值;(3)如图3,若点Q在线段BP上,设PQ=x,RM=y,求y关于x的函数关系式,并写出它的定义域.n【解析】(1)由题意,得AB=BC=CD=AD=8,∠C=∠A=90°,在Rt△BCP中,∠C=90°,∴,∵,∴PC=6,∴RP=2,∴,∵RQ⊥BQ,

7、∴∠RQP=90°,∴∠C=∠RQP,(2)的比值随点Q的运动没有变化,如图1,∵MQ∥AB,∴∠1=∠ABP,∠QMR=∠A,∵∠C=∠A=90°,∴∠QMR=∠C=90°,∵RQ⊥BQ,∴∠1+∠RQM=90°、∠ABC=∠ABP+∠PBC=90°,∴∠RQM=∠PBC,n∴△RMQ∽△PCB,∴,∵PC=6,BC=8,∴,∴的比值随点Q的运动没有变化,比值为;(3)如图2,延长BP交AD的延长线于点N,∵PD∥AB,∴,∵PD∥AB,MQ∥AB,∴PD∥MQ,∴,∵,RM=y,∴[来源:学科网]又PD=2,,∴,∴,如图3,当点R与点A重合时,PQ取得最大

8、值,高中经典题型1.如图,在平行四边形中,点在上且,与交于点,则n.【答案】【解析】由于四边形为平行四边形,则,因此,由于,所以,因此,故.2.如图,在中,作平行于的直线交于,交于,如果和相交于点,和相交于点,的延长线和相交于.证明:(1);(2).【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)由平行线分线段成比例有,所以;(2)由(1)有①,由平行线分线段成比例有,同理,所以②,由①②得,即.试题解析:(1)∵,∴,即,同理,于是.(2)∵,∴,即,同理,所以,又由(1)有,所以,即.3.过圆外一点,作圆的切线、,、为切点,为弦上一点,过

9、作直线分别交、于点、.(Ⅰ)若,求线段的长;(Ⅱ)若,求证:.学-科网【答案】(I);(II)证明见解析.n【解析】试题分析:(I)过点作交于点,可证,,等腰三角形可得,进而可得线段的长;(II)先证四点、、、共圆,四点、、、共圆,进而可得,从而.试题解析:(I)如图1,过点作交于点,则,且,所以.因为、是圆的切线,所以,所以,从而,得.由,得.(II)如图2,连接、、、,则.因为,所以,故四点、、、共圆,四点、、、共圆,所以.又,所以,故.从而.4.如图,为圆的直径,为圆的切线,点为圆上不同于的一点,为的平分线,且分别与交于,与圆交于,与交于,连接.(1)求证

10、:平分;(2)求证:【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】n5.如图所示,以直角三角形的斜边为直径作外接圆,为圆上任一点,连接,过点作边上的高,过点作圆的切线与的延长线交于点.(1)求证:;(2)若,求的长.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据同弧所对对圆周角相等,可得,那么在直角三角形中,所以,即可证明;(2)根据切割线定理,,再在不同的直角三角形内求,再根据(1)的关系求长.试题解析:(1)由题可知,是直径,所以,又由题可知,所以,又,所以,从而得,即.........5分(2)由条件可知,,因为为圆的切线,所以,从而得

11、到,所以,,由(1)得,,所以.6.在中,AB=AC,过点A的直线与其外接圆交于点P,交BC延长线于点D.n(1)求证:;(2)若,求的值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)先由角相等,证得三角形相似,再结合线段相等即可所证比例关系;(2)由于,从而得出两个三角形相似,结合相似三角形的对应边成比例,即得的值.试题解析:(1),,~,又,(2),,~,,7.如图,为四边形外接圆的切线,的延长线交于点,与相交于点,且.(1)求证:;(2)若,,,求的长.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据切线的性质首先证明,再利用即可

12、得证;(2)首先根据切割线定理求得,的长度,再利用即可求解.n【实战演练】————先作初中题——夯实基础————A组1.已知△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从B、A两点出发,分别沿BA、AC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1)当t为何值时,AP=2AQ?(2)当t为何值时,△APQ为直角三角形?(3)作DQ∥AB交BC于点D,连接PD,当t为何值,△BDP∽△PDQ?【分析】(1)由题意可知BP=t,AQ=2t,则AP=6﹣t,由

13、AP=2AQ可得到关于t的方程,可求得t的值;(2)分∠APQ=90°和∠AQP=90°两种情况,再利用含30°角的直角三角形的性质可和AP=2AQ,或AQ=2AP,分别求t即可;(3)由△BDP∽△PDQ可知∠BDP=∠PDQ,且∠BDQ+∠B=180°,可求得∠PDQ=60°,又∠PBD=∠PQD=60°=∠APQ,可证得△APQ为等边三角形,可得AP=AQ,得到关于t的方程,可求出t.(2)若△APQ为直角三角形,则∠APQ=90°或∠AQP=90°,当∠APQ=90°时,=cosA=cos60°=,即=,解得t=3;当∠AQP=90°时,=cosA=cos

14、60°=,即=,解得t=.∴当t=3或t=时,△APQ为直角三角形;(3)∵DQ∥AB,∴=,∵CA=CB,∴BD=AQ=2t,又∵DQ∥AB,n∴∠APQ=∠PDQ,当△BDP∽△PDQ时,∴∠B=∠PQD,∴∠B=∠APQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴AP=AQ,即6﹣t=2t,解得t=2.所以当t=2时,△BDP∽△PDQ.2.如图,小华在晚上由路灯AC走向路灯BD.当他走到点P时,发现他身后影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部;当他向前再步行12m到达点Q时,发现他身前影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部.已知小华的身高是1.6m,两个路灯的高度都是9

15、.6m,且AP=QB.(1)求两个路灯之间的距离;(2)当小华走到路灯BD的底部时,他在路灯AC下的影长是多少?【分析】(1)如图1,先证明△APM∽△ABD,利用相似比可得AP=AB,再证明△BQN∽△BAC,利用相似比可得BQ=AB,则AB+12+AB=AB,解得AB=18(m);(2)如图2,他在路灯A下的影子为BN,证明△NBM∽△NAC,利用相似三角形的性质得=,然后利用比例性质求出BN即可.【解析】(1)如图1,∵PM∥BD,∴△APM∽△ABD,=,即=,∴AP=AB,∵NQ∥AC,∴△BNQ∽△BCA,∴=,即=,∴BQ=AB,而AP+PQ+BQ=

16、AB,∴AB+12+AB=AB,∴AB=18.n答:两路灯的距离为18m;【名师点拨】本题考查了相似三角形的应用:通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决.3.如图1,∠BAC的余切值为2,AB=2,点D是线段AB上的一动点(点D不与点A、B重合),以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上,且点F在点E的右侧,联结BG,并延长BG,交射线EC于点P.(1)点D在运动时,下列的线段和角中, ④⑤ 是始终保持不变的量(填序号);①AF;②FP;③BP;④∠BDG;⑤∠GAC;⑥∠BPA;(2

17、)设正方形的边长为x,线段AP的长为y,求y与x之间的函数关系式,并写出定义域;(3)如果△PFG与△AFG相似,但面积不相等,求此时正方形的边长.【分析】(1)作BM⊥AC于M,交DG于N,如图,利用三角函数的定义得到=2,设BM=t,则AM=2t,利用勾股定理得(2t)2+t2=(2)2,解得t=2,即BM=2,AM=4,设正方形的边长为x,则AE=2x,AF=3x,由于tan∠GAF==,则可判断∠GAF为定值;再利用DG∥AP得到∠BDG=∠BAC,则可判断∠BDG为定值;在Rt△BMP中,利用勾股定理和三角函数可判断PB在变化,∠BPM在变化,PF在变化

18、;(2)易得四边形DEMN为矩形,则NM=DE=x,证明△BDG∽△BAP,利用相似比可得到y与x的关系式;(3)由于∠AFG=∠PFG=90°,△PFG与△AFG相似,且面积不相等,利用相似比得到PF=x,利用y与x的关系式得到y=3x+x=x=x,然后解方程求出x即可.n设正方形的边长为x,在Rt△ADE中,∵cot∠DAE==2,∴AE=2x,∴AF=3x,在Rt△GAF中,tan∠GAF===,∴∠GAF为定值;∵DG∥AP,∴∠BDG=∠BAC,∴∠BDG为定值;在Rt△BMP中,PB=,而PM在变化,∴PB在变化,∠BPM在变化,∴PF在变化,所以∠

19、BDG和∠GAC是始终保持不变的量;故答案为④⑤;(3)∵∠AFG=∠PFG=90°,△PFG与△AFG相似,且面积不相等,∴=,即=,n∴PF=x,∴AP=x,∴=x,解得x=即正方形的边长为.————再战高中题——能力提升————B组1.如图,与相交于点,过作的平行线与的延长线交于点,已知,,则____.【答案】.【解析】分析:利用已知条件判断,列出比例关系,即可求解的值.详解:,,且在圆中,,故答案为.2.在直角三角形ABC中,,它的内切圆分别与边,,相切于点,,,联结,与内切圆相交于另一点,联结,,,,已知,求证:(1);(2)。【答案】(1)见解析;(

20、2)见解析.【解析】分析:(1)可证∽;(2)可证同位角或内错角相等,如证或,这又可通过证明∽证得.详解:(1)联结,,则是等腰直角三角形,于是,故。又,则∽,所以①.n3.如图,在ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC,D为垂足,E是BC的中点.求证:∠EDC=∠ABD.【答案】详见解析【解析】试题分析:先由直角三角形斜边上中线性质,再由,与互余,与互余,得,从而得证.试题解析:证明:在和中,因为为公共角,所以∽,于是.在中,因为是的中点,所以,从而.所以.【名师点睛】1.相似三角形的证明方法:(1)找两对内角对应相等;(2)若只有一个角对应相等,再判定这个角

21、的两邻边是否对应成比例;(3)若无角对应相等,就要证明三边对应成比例.2.利用相似三角形的性质进行对应边的比、对应角的度数的相关运算时,要善于联想变换比例式,通过添加辅助线构造相似三角形,同时注意面积法的应用.4.如图,在正方形ABCD中,E,G分别在边DA,DC上(不与端点重合),且DE=DG,过D点作DF⊥CE,垂足为F.(Ⅰ)证明:B,C,G,F四点共圆;(Ⅱ)若AB=1,E为DA的中点,求四边形BCGF的面积.【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(Ⅰ)证再证四点共圆;(Ⅱ)证明四边形的面积是面积的2倍.试题解析:(Ⅰ)因为,所以则有所以由此可

22、得因此所以四点共圆.(Ⅱ)由四点共圆,知,连结,由为斜边的中点,知,故n因此四边形的面积是面积的2倍,即【名师点睛】判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理,特别要注意对应角和对应边.相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等,也可间接证明线段相等.5.如图,为圆的直径,为圆的切线,点为圆上不同于的一点,为的平分线,且分别与交于,与圆交于,与交于,连接.(1)求证:平分;(2)求证:.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【解析】试题分析:(1)由弦切角定理和同弧、等弧对等角可以得到;(2)通过和的两组对应角相等,证明相似,得到线段成比例.试

23、题解析:由弦切角定理得到,又,,所以,即.………………5分由可知,所以,因为,,所以∽,所以,即,即.6.在△ABC中,,△ABC的外接圆⊙O的弦AD的延长线交BC的延长线于点E.求证:△ABD∽△AEB.【答案】见解析.【解析】试题分析:由AB=AC,有∠ABC=∠ACB,又⊙O中,,得到∠ADB=∠ABC,即可证明△ABD∽△AEB.试题解析:因为,所以.n又⊙O中,,所以.又,

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