北京大学数学系《高等代数》（第3版）【教材精讲＋考研真题解析】讲义

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1、目录第1章多项式[视频讲解]1.1本章要点详解1.2配套考研真题解析第2章行列式[视频讲解]2.1本章要点详解2.2配套考研真题解析第3章线性方程组[视频讲解]3.1本章要点详解3.2配套考研真题解析第4章矩阵[视频讲解]4.1本章要点详解4.2配套考研真题解析第5章二次型[视频讲解]5.1本章要点详解5.2配套考研真题解析第6章线性空间[视频讲解]6.1本章要点详解6.2配套考研真题解析第7章线性变换[视频讲解]7.1本章要点详解7.2配套考研真题解析第8章λ－矩阵[视频讲解]8.1本章要点详解

2、8.2配套考研真题解析第9章欧式空间[视频讲解]9.1本章要点详解9.2配套考研真题解析第1章多项式[视频讲解]1.1本章要点详解本章要点■数域及其性质■多项式运算及其运算性质■整除的判别与性质■最大公因式的存在性与求法■不可约多项式与因式分解唯一性定理■重因式的判别重难点导学一、数域00:00/00:001定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，则称P为一个数域．全体有理数组成的集合、全体实数组成的集合

3、、全体复数组成的集合都是数域，这三个数域分别用字母Q，R，C来代表．全体整数组成的集合不是数域．注：（1）如果数的集合P中任意两个数作某一运算的结果都仍在P中，则数集P对这个运算是封闭的．（2）数域的等价定义：如果一个包含0，l在内的数集P对于加法、减法、乘法与除法（除数不为0）是封闭的，则称P为一个数域．2性质任意数域P都包括有理数域Q．二、一元多项式00:00/00:001一元多项式的概念（1）一元多项式的概念设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，an全

4、属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．在多项式中，用f（x），g（x），…或f，g，…来代表多项式．注：在多项式…中①axi称为i次项，a称为i次项的系数；ii②如果a≠0，则称axn为多项式的首项，a称为首项系数，n称为多项式nnn的次数，多项式f（x）的次数记为：；③系数全为零的多项式称为零多项式，记为0．零多项式是唯一不定义次数的多项式．（2）多项式相等如果在多项式f（x）与g（x）中，除去系数为零的项外，同次项的系数全相等，则称f（x）与g（x）相等，

5、记为f（x）＝g（x）．（3）多项式的运算设…，…是数域P上两个多项式，即，①和运算：在表示多项式f（x）与g（x）的和时，如n≥m，在g（x）中令bn＝bn-1＝…＝bm＋1＝0．则f（x）与g（x）的和为②积运算：f（x）与g（x）的乘积为其中s次项的系数是所以f（x）g（x）可表成（4）多项式运算性质①数域P上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍然是数域P上的多项式．②对于多项式的加减法③对于多项式的乘法，多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的成积；如果f（x）≠0，g（x）≠0

6、，故f（x）g（x）≠0，并且．④加法交换律：f（x）＋g（x）＝g（x）＋f（x）．⑤加法结合律：（f（x）＋g（x））＋h（x）＝f（x）＋（g（x）＋h（x））．⑥乘法交换律：f（x）g（x）＝g（x）f（x）．⑦乘法结合律：（f（x）g（x））h（x）＝f（x）（g（x）h（x））．⑧乘法对加法的分配律：f（x）（g（x）＋h（x））＝f（x）g（x）＋f（x）h（x）．⑨乘法消去律：如果f（x）g（x）＝f（x）h（x）且f（x）≠0，那么g（x）＝h（x）．2一元多形式环所有系数在数域

7、P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．三、整除的概念00:00/00:001带余除法对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是唯一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f（x）的余式．2整除定义数域P上的多项式g（x）称为整除f（x）

8、，如果有数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立．g（x）整除f（x）记为g（x）丨f（x），g（x）不能整除f（x）记为．当g（x）丨f（x）时，g（x）称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3整除的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，能整除任一个多项式．4整除的性质