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1、群论复习思考题2006.121．写出C4v对称性群的类、元素的阶及所有不变子群，并证明下述结论：（1）C4v的不变子群H的不变子群K不一定是C4v的不变子群。（2）C4v的不变子群的交集仍是C4v的不变子群。2．试由和生成一矩阵群。证明此群为8阶群，分五类，但与C4v不同构。（提示：证明该矩阵群中四阶元有6个，而C4v中只有2个）3．若一群的元素均为2阶，证明它可以是4阶Abel群。4．（1）设a2=b3=(ab)2=e,由a，b生成的群为几阶群？列举两个与其同构的群的例子。（2）若a，b乘积可对易，且a2=b3=e,证明a，b生成的群定是循环群。5．叙
2、述同态核定理，并加以证明。6．若G群是2n阶的，H为G的n阶子群，则H必为G的不变子群。其商群必为二阶循环群。7．若群G=HK，试证明（1）商群G/H与K同构;（2）群G的类数等于两因子群类数之积。8．（1）证明有限群共轭类中所含元素数目也是群阶的因子。（2）证明置换群Sn中属于同一配分的各种可能置换元素属于同一类。9．（1）设a,b,c为群元，试证abc,bca,cab同阶。（2）证明下列循环积恒等式：10．证明在适当的基函数下，群G可约表示的形式是其中和分别是m阶和n阶方阵；是n行m列的矩阵，而是m行n列的零矩阵。（提示：采用行矢量基矢，）411．（
3、1）在R3空间中,平移用表示。定义为，求平移算符的形式。（2）绕z轴的定轴转动,其算符表示可以由OXY平面线性变换求得。试求的表示。12．叙述舒尔引理Ⅰ和Ⅱ，分别给出一种证明。利用舒尔引理导出群的不可约表示的正交关系:13．给定两个基函数构成二维空间。求群在上的诱导算符表示。14．若在三维空间中给定三个独立的基矢，置换群的元素S对的作用是=。按照这一方法写出所有元素的表示矩阵。这种表示是否可约？如可约，它包含几个哪一类不等价不可约表示？15．试用列表形式给出群的不可约表示特征标表。并加简要推导和说明。16．一个具有对称性的正四棱锥体系，沿一组相对面方向受
4、到压缩，压缩后对称性群是，给出和的不可约表示特征标表，并利用其说明该体系受扰动前后的能级分裂情况。17．对于幺正不可约表示，，，证明直积表示，和中分别包含不可约表示，，的次数相等。证明群的正则表示中包含其所有不可约表示，且每个不可约表示出现的次数等于该不可约表示的维数。18．SU(2)群的元素可表示为，证明a的实部相同的元素属于同一类。4*19.试用SO(3)与SU(2)的对应关系由给出转动矩阵元的表达式。20.求群的两个2维表示直积的约化C-G系数。21.用对称化基函数法将D3群在F3={f()=ax2+by2+c.2xy
5、a,b,c∈R}上的诱导算符
6、群的表示T约化(提示:D3群的3维表示一定可约)。22.采用Euler角方法，写出SO(3)群元素的表示矩阵。今有一定轴转动=(),求转轴的取向和转角。23．写出反映正四面体完全对称性的群所包含的所有点操作，它分为几类？求相应的不可约表示特征标。24．求群的不可约表示及相应的表示的特征标。25．求立方体转动对称O群的二个三维不可约表示的表示矩阵和特征标。（提示：用对称化基函数）26．叙述晶体转轴制约定理，并证明之。*27．空间平移矢量，相应方向上的格点数为。求平移群的不可约表示，这种表示有多少个？各是几维的？28．写出分子的对称点操作群。123429．写
7、出标准杨盘的杨算符。试验证它们是原始幂等元。30．用标准杨盘（表）方法求置换群的不可约表示中元素（12），（23），及（14）的表示矩阵。31．用阶梯法求以下不可约表示的类特征标。（1）（2）32．利用特征标表验证下列直积表示关系4推广到一般情况。试论证：两个不可约表示的直积仍为不可约表示的条件是什么？33．求置换群的不可约表示的自身外积⊙的约化。并用表示维数加以验证。34．（1）验证杨图等式⊙=⊙⊙-⊙（2）计算外积⊙，并验证维数。（3）将下列外积表示成一系列与一维表示之外积的代数和35.分别计算S6群所有(K-1,K)对换在下列两个不可约表示中的实正
8、交矩阵形式。并计算它们之间的相似变换矩阵X。（提示：结果：）36.GL(5,C)群的4秩张量空间可约化为哪些不变的张量子空间，其子空间的维数各为多少？（用Robinson公式）。(提示:625=5+70+315+135+100)*37.由普通张量,写出[3，1]对称形张量具体形式。38.约化GL(3,C)群的直积表示，并核对维数。提示：[7，2],[7，12],2[6，2，1]2[5，3，1],[4，4，1],[5，2，2]而[6,13],[5,14],[5,2,12],[4,2,13],[4,22,1]不属于约化表示。4
