自动控制原理-胡寿松-第二章-控制系统的数学模型.ppt

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1、第二章控制系统的数学模型在控制系统的分析设计中，首先要建立系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。静态数学模型，动态数学模型。建立控制系统数学模型的方法主要有两种：分析法和实验法本章研究用分析法建立系统的数学模型的方法。自动控制原理中数学模型的形式：时域中常用的数学模型：微分方程、差分方程和状态方程；复数域中常用的数学模型：传递函数、结构图、信号流图；频域中常用的数学模型：频率特性等。本章研究微分方程、传递函数和结构图、信号流图这几种数学模型的建立和应用，其余几种数学模型将在

2、以后各种中分别详细阐述。本章目录2-1控制系统的时域数学模型2-2控制系统的复数域数学模型2-3控制系统的结构图与信号流图2-4在Matlab中数学模型的表示2-5本章小结2-6控制系统建模实例2-1控制系统的时域数学模型本节着重研究描述线性、定常、集总参量（对应非线性，时变、分布参量）控制系统的微分方程的建立和求解方法。本节内容：1.线性元件的微分方程2.控制系统微分方程的建立3.线性系统的基本特性4.线性定常微分方程的求解5.非线性微分方程的线性化6.运动的模态返回1.线性元件的微分方程控制系统是由各种物理元件有机组

3、合构成的，因此，在研究控制系统的数学模型之前，我们有必要对常见控制系统中常用的物理元件的数学模型进行研究，最终将这些元件的数学模型合理组合起来就构成了整个控制系统的数学模型。举例说明控制系统中常用的电气元件、力学元件等微分方程的列写。（在允许的情况下，通常将非线性特性不强物理元件认为是线性的，以简化处理；如果非线性较强，则不能认为是线性的。）例2-1图中是由电阻R、电感L和电容C组成的RLC无源网络，试列写以为输入量，以为输出量的网络微分方程。解设回路电流为，由基尔霍夫定律可写出回路方程为消去中间变量，便得到描述网络输入

4、输出关系的微分方程为显然，这是一个二阶线性微分方程，也就是上图无源网络的时域数学模型。例试列写图中所示RC无源网络的微分方程。输入为ui(t)，输出为u0(t)。解根据基尔霍夫定理，可列出以下式子：整理得：令T1=R1C1，T2=R2C2，T3=R1C2则得该网络的数学模型是一个二阶线性常微分方程。（两个储能元件）讨论：比较两个例题的时域表达式的形式均为二阶线性微分方程，模型结构均为：因此，验证了不同的系统有结构相似的数学模型（相似系统）。因此研究某一类通用的数学模型，可以对应很多种系统，这在下面将要介绍的弹簧质量阻尼器

5、系统中可以得到更进一步的证实。另外，对无源网络来说，电感、电容的个数决定了微分方程的阶次。例2-3图为一弹簧阻尼系统，当外力F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试列写外力F(t)与位移y(t)之间的微分方程。解弹簧和阻尼器有相应的弹簧阻力F1(t)和粘性摩擦阻力F2(t)，根据牛顿第二定律有：其中F1(t)和F2(t)可由弹簧、阻尼器特性写出式中k——弹簧系数f——阻尼系数代入，整理且标准化令称为时间常数；称为阻尼比；称为放大系数。得该网络的数学模型也是一个二阶线性常微分方程。例2-2试写图所示电枢控制直流电动机的微分

6、方程，要求取电枢电压为输入量，电动机转速为输出量。图中，分别是电枢电路的电阻和电感；是折合到电动机轴上的总负载转矩。励磁磁通设为常值。解电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转化为机械能，也就是由输入电枢电压在电枢或回路中产生电枢电流，再由电枢电流与激磁磁通相互作用产生电磁转矩，从而拖动负载运动。因此直流电动机的运动方程可由以下三部分组成：电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上的转矩平衡方程以上三式联立，消去中间变量，便可得到以为输出量，以为输入量的直流电动机微分方程二阶微分方程如果电枢电阻和电动机的转动惯量都很

7、小，可以忽略不计时，上式可以简化为在工程应用中，由于电枢电路电感较小，通常忽略不计，上式可简化为一阶微分方程电动机转速与电枢电压成正比，因此，电动机可作为测速发电机使用，构成反馈系统。列写微分方程的步骤可以总结如下：1.根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用，确定其输入量和输出量。2.分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律，列写相应的微分方程。3.消去中间变量，得到输出量与输入量之间关系的微分方程，便是元件时域的数学模型。一般情况下，应将微分方程写为标准形式，即与输入量有关的写在方程的右端，与输出量有关的写在方程的左

8、端，方程两端变量的导数项均按降幂排列。返回2.控制系统微分方程的建立控制系统的微分方程是其各个组成元件微分方程的有机组合。建立控制系统的微分方程时，一般先由系统原理图画出系统的方块图，并分别列写组成系统各元件的微分方程；然消去中间变量便得到描述系统输出量与输入量之间关系的微分方程。列写系统各元件的微分方程时需注意两点