方程组直接三角分解法.ppt

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1、4.2直接三角分解法4.2.3平方根法4.2.1一般矩阵的直接三角分解法4.2.2三对角方程组的追赶法4.2直接三角分解法4.2.1一般矩阵的直接三角分解法本节讨论矩阵A的三角分解法的直接计算以及直接利用A的三角分解式来求解方程组。1.不选主元的三角分解法设A=LU，记　　其中L为单位下三角阵，U为上三角阵。我们可直接给出L和U的元素的计算公式。由A的第1行和第1列可计算出U的第1行和L的第1列，即（4.2.1）（4.2.2）如果U的第1至k-1列和L的第1至k-1列已经算出，则由可得U的第k行元素同理，由ukj=akj-,j=k,k+1,···,n。（4.2.3）akj=,i=k+1,k+

2、2,···,n,可得L的第k列元素交替使用（4.2.3）和（4.2.4），就能逐次计算出U（按行）和L（按列）的全部元素，而且可以把它们存放在矩阵A对应的位置上（L的对角线元素不必存放）。这就完成了A的LU分解。lik=(aik-)/ukk,i=k+1,k+2,···,n。由（4.2.1）-（4.2.4）求得L和U后，解方程组Ax=b接化接为求解LUx=b，若记Ux=y，则有Ly=b。于是可分两部解方程组LUx=b，只要琢次向前代入的方法即可求得y。第二步求解Ux=y，只要琢次用向后回代的方法即可求得x。设x=（x1，x2，···xn)T,y=（y1,y2,···yn)T,b=（b1，b2，

3、···bn)T,则有计算公式（4.2.5）（4.2.6）以上解方程组的计算与顺序Gauss消去法相当。如果有一系列方程组，其系数距阵都是相同的，右端向量b不同，则只须进行一次LU分解计算。上述解方程的方法称为LU分解法，也称Doolittle方法。例4.5用LU分解法求解解由（4.2.1）-（4.2.4）计算可得由（4.2.5）计算得由（4.2.6）计算得2.列选主元的三角分解法设从A=A（1）开始已完成k-1步分解计算，U的元素（按行）和L的元素（按列）存放在A的位置，得到～该矩阵与顺序Gauss消去法中得到的A（k）是不同的，这种存储方式的形式称为紧凑形式。当i=k时，si对应于（4.2

4、.3）中的ukk，它可能不宜在（4.2.4）作除法。当i=k+1,k=2,….n，si对应于（4.2.4）中的分子。记现做第k行计算，令交换　　　　　的第i行与第　行的位置，但每个位置上仍用原记号。然后仍按（4.2.3）计算　　　　　　　　　　　，算出U的第k行。的计算可用这就算出了L的第k行。以上分解过程经过n-1步，可得PA=LU，因为b也参加换行计算，所以在其位置上得到Pb。最后再分两步求解方程组LUx=Pb，即求解Ly=Pb和Ux=y。例4.6用列选主元的三角分解法解由此知由于s2=5/3

5、结果由于方车程组的右端参与了消元计算，所以Ly=Pb的解为y=b（3）=（20，14/3，216/39）T。解Ux=y得x=（1，2，3）T4.2.2三对角方程组的追赶法设有方程组Ax=d,其中d=(d1d2,…dn)T,系数矩阵A是三对角形矩阵(4.2.7)如果A满足Gauss消去发的条件,可用LU分解发求解.并且,L和U有如下形式(4.2.8)利用(4.2.7)和(4.2.7)可得由此可求得L和U的所有元素.。解原方程组Ax=b可分为两步Ly=d和Ux=y,计算公式为(4.2.9)(4.2.10)称为(4.2.9)、(4.2.10)和(4.2.11)为求解三对角形方程组的追赶法,又称为T

6、homas算法。追赶发能实现的条件是ui≠0，i=1,2,…,n.。下面给出追赶发一个的充分条件。定理4.6设三对角矩阵A有(4.2.7)的表达式,且满足则A非奇异,且有.另一方面,有利用条件可得到,故证用归纳法。对i=1,有现设,我们有所以因为detA=u1u2…un，所以detA≠0。定理得证。在定理4.6的条件下，追赶法可以进行计算，并且计算过程的中间变量有界，不会产生大的变化，可以有效计算出结果。在定理4.6的条件下，要求ai和ci非零。若有某个ai（或ci）为零，则三对角方程组可以化为两个低阶的非耦和的方程组。例4.7用追赶发求解三对角方程组Ax=d，其中解由(4.2.9)得追赶法

7、公式简单，计算量和存储量都很小。整过求解过程仅须5n-4次乘除和3（n-1）次加减法运算，仅需4个一为数组存储系数矩阵的元素和右端向量　　，　，　可分别存放在表示系数矩阵元素的数组和右段向量的位置。由(4.2.10)和(4.2.11)得对另一类方程组，在周期样条插值等为题遇到的循环三对角方程组Ax=d，其中我们也可用三对角分解的方法。从矩阵零元素的位置不难验证L和U可写成下面的形式：由此不难得到L和U的元素的