高中数学《函数与方程-函数概念》素材6 苏教版必修1.doc

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1、函数概念一、知识清单1．映射：设非空数集A，B，若对集合A中任一元素a，在集合B中有唯一元素b与之对应，则称从A到B的对应为映射，记为f：A→B，f表示对应法则，b=f(a)。若A中不同元素的象也不同，且B中每一个元素都有原象与之对应,则称从A到B的映射为一一映射。2．函数定义：函数就是定义在非空数集A，B上的映射，此时称数集A为定义域，象集C={f(x)

2、x∈A}为值域。3．函数的三要素：定义域，值域，对应法则.从逻辑上讲，定义域，对应法则决定了值域，是两个最基本的因素。4．函数定义域的求法：列出使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即

3、可求得函数的定义域.常涉及到的依据为：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③对数的真数大于0，底数大于零且不等于1；④零指数幂的底数不等于零；⑤实际问题要考虑实际意义等.注:求函数定义域是通过解关于自变量的不等式（组）来实现的。函数定义域是研究函数性质的基础和前提。函数对应法则通常表现为表格，解析式和图象。 5．函数值域的求法：①配方法(二次或四次)；②判别式法；③反函数法（反解法）；④换元法（代数换元法）；⑤不等式法；⑥单调函数法.注:⑴求函数值域是函数中常见问题，在初等数学范围内，直接法的途径有单调性，基本不等式及几何意义，间

4、接法的途径为函数与方程的思想，表现为△法，反函数法等，在高等数学范围内，用导数法求某些函数最值（极值）更加方便.⑵常用函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。①函数的值域为R;②二次函数当时值域是,当时值域是]；③反比例函数的值域为；④指数函数的值域为；⑤对数函数的值域为R；⑥函数的值域为[-1，1]；⑦函数,的值域为R；二、课前练习1.若，,则到的映射有个，到的映射有个；若，,则到的一一映射有个。用心爱心专心2.设集合A和集合B都是自然数集合N，映射把集合A中的元素映射到集合B中的元素，则在映射下，象20的原象是()（A）2（B）3（

5、C）4（D）53.已知扇形的周长为20，半径为，扇形面积为，则；定义域为。4.求函数的定义域.5.若函数的定义域为[-1,1]，求函数的定义域。6.已知(x¹0),求.7.求函数的值域.8.下列函数中值域为的是()(A)(B)(C)(D)一、典型例题EG1、A=｛1，2，3，4，5｝，B=｛6，7，8｝从集合A到B的映射中满足f（1）≤f（2）≤f（3）≤f（4）≤f（5）的映射有个。变式1、若f:y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a、k的值及集合A、B.变式2、集合M={

6、a，b，c}，N={－1，0，1}，映射f:M→N满足f（a）+f（b）+f（c）=0，那么映射f:M→N的个数是多少？EG2、设函数，，求函数的定义域.变式1：函数的定义域是A.B.C.D.变式2：设，则的定义域为A.B.C.D.用心爱心专心函数值域求函数值域是函数中的重要问题之一，在后续课程的学习中也有许多应用，求函数的值域要涉及多种数学思想方法和函数、方程、不等式等到相关知识，求函数值域是函数学习的一个难点，为此本文介绍几种常见的求法．一、用非负数的性质例１　求下列函数的值域：y=-3x2+2;变式：y=5+2(x≥-1).二．分离

7、常数法对某些分式函数，可通过分离常数法，化成部分分式来求值域．例２　求下列函数的值域：y=变式2、y=.三、利用函数单调性已知函数在某区间上具有单调性，那么利用单调性求值域是一种简单的方法．例３　求函数y=3x-的值域.四、利用判别式特殊地，对于可以化为关于x的二次方程a(y)x2+b(y)x+c(y)=0的函数y=f(x)，可利用．　　例4　求函数y=的最值．变式：；五、利用数形结合数形结合是解数学问题的重要思想方法之一，求函数值域时其运用也不例外．　例5　若（x+）(y-)=0,求x-y的最大、最小值．　　变式：函数的值域.六、利用换

8、元法求值域　　有时直接求函数值域有困难，我们可通过换元法转化为容易求值域的问题考虑．例6　求函数y=2x-5+的值域．变式：求函数的值域用心爱心专心七、利用反函数求值域　因函数y=f(x)的值域就是反函数y=f-1(x)的定义域，故某些时候可用此法求反函数的值域．例7　求函数y=(x＞0)的值域．变式：函数y＝的值域是由ex＝＞0，得值域为(-∞，-1)∪(2，+∞)；八、利用已知函数的有界性．例8　求函数y=的值域.变式：求下列函数的值域（1）（2）；函数解析式一、定义法：例1：设，求.变式1：设，求.变式2：设，求.变式3：设.二、待

9、定系数法：例2：已知，求.变式1、已知是一次函数，且满足，求；三、换元（或代换）法：例3：已知求.变式1：设，求.变式2：若求.用心爱心专心变式3：设，求。四、微积分法：例4：设，求.一、实战