江苏省专转本高等数学第三节 极限的运算法则第四节 无穷小(量)和无穷大(量).ppt

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1、第三节极限的运算法则定理证略1说明：1.有两层意思:(1)在limu和limv都存在的前提下，lim(u+v)也存在；(2)lim(u+v)的数值等于limu+limv.2.lim(u+v)存在,不能倒推出limu和limv都存在.3.若limu存在,而limv不存在,则lim(u+v)必不存在.4.可推广到有限多项.反证:若lim(u+v)存在,已知limu存在,由定理知limv存在,矛盾2推论1推论2例13例2解4解例3消零因子法5一、无穷小(量)定义以零为极限的函数(或数列)称为无穷小(量).例如,注:1.无穷小是变量,不能与很小的数混为一谈;3.零是唯一可以作为无穷小的数.2

2、.称一个函数是无穷小，必须指明自变量的变化趋势.第四节无穷小(量)和无穷大(量)6无穷小和极限的关系:定理变量y以A为极限的充分必要条件是：变量u可以表示为A与一个无穷小量的和。即limu=Au=A+a，其中a是无穷小。证略.定理表明：极限概念可以用无穷小量概念来描述.无穷小量的性质：1°有限多个无穷小量之和仍是无穷小量；定理2°无穷小量与有界变量之积仍是无穷小量；3°有限多个无穷小量之积仍是无穷小量。7例1解8例2例39二、无穷大(量)定义如果变量u在其变化过程中

3、u

4、无限增大，则称u为无穷大(量)，记作精确定义：1.无穷大量是一个变量，不可与很大很大的数混为一谈；2.称函数是

5、无穷大量，必须指明其自变量的变化趋势。注:10证得证.xoy例411无穷大量与无界变量的关系(1)无穷大量显然是无界变量；(2)但无界变量不一定是无穷大量。例如数列再如，但它并不是无穷大量。12三、无穷大量与无穷小量的关系意义关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.例513例6解所以原极限为-1；所以14四、无穷小量的比较例如,比值极限不同,反映了两者趋向于零的“快慢”程度不同.观察各极限下节证15定义：16说明:1、称一个变量为高阶或低阶无穷小，是没有意义的，只有在同一个变化过程中的两个无穷小比较时，才能说它们阶的高低或是否同阶.2、在同一极限过程中的两个无穷小量，并不是总能

6、比较阶的高低的.17例718例8证19例9证20例10但是，不存在，21例4解一般,22例5解23共扼因子法解解变量代换法例6例724例8解先变形再求极限.25