异面直线所成角的计算2.ppt

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1、异面直线所成角的计算A1D1C1B1ABCDMN例1已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M为AB的中点,N为BB1的中点，求A1M与C1N所成角的余弦值。解：EG如图，取A1B1的中点E，连BE，有BE∥A1M取CC1的中点G连BG.有BG∥C1N则∠EBG即为所求角（或补角）。由余弦定理，cos∠EBG=2/5F取EB1的中点F，连NF有BE∥NF∥A1M则∠FNC1为所求角（或补角）。想一想：还有其它方法吗？BG=BE=a，EG=a连EG，在△EBG中为什么？例2：在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=c，AB=a，AD=b(a>b)求异面直线A1C1与

2、BD1所成角的余弦值。取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，如图，连B1D1与A1C1交于O1，于是C1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）解：DB1A1D1C1ACBMO1方法归纳：平移法即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。acb解法二:连接交于O，取中点N，连接ON，则∠NOB即为异面直线所成角（或补角）ONDB1A1D1C1ACB解法三：方法归纳：补形法把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面连结A1

3、E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，F1EFE1BDB1A1D1C1ACBC1的长方体B1F.练习1：每对异面直线所成的角是多少？⑴:A1B与D1C1:A1B与C1C:A1B与CD⑷:A1B与C1D:B1B与AD:A1B与B1C:A1B与B1D145°45°45°90°60°90°60°⑺A1B1BAD1C1DC⑵⑶⑸⑹HEG练习2如图，在空间四边形ABCD中，已知AD=1，BC=，且AD⊥BC，对角线BD=，AC=，求AC与BD所成的角CABDF方法归纳：中位线平移在空间图形中，利用中点连接两个空间图形；利用中位线的平行与长度传递异面直线的长度与方

4、向。练习2（解法二）ABDEFCHGR定角一般方法：（1）直接平移小结：1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：（1）当cosθ＞0时，所成角为θ（2）当cosθ＜0时，所成角为π－θ（3）当cosθ=0时，所成角为3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有关知识解决。90o（3）补形法一般步骤是：定角（作证指）解三角形找三角形（2）中位线平移