版高中全程复习方略配套课件：3.8正弦定理、余弦定理的应用举例.ppt

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1、第八节　正弦定理、余弦定理的应用举例三年8考高考指数:★★★能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点.2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中低档题.1.实际问题中有关概念(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线_____的角叫仰角，在水平线_____的角叫俯角(如图①).上方下方铅垂线水平线视线视线仰角俯角①(2)方位角从指北方向_______转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).顺时针北南西东B②(3)方向角相对于某一正方向的水平角(如图③)①北

2、偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向.②北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向.③南偏西等其他方向角类似.东北目标北偏东③(4)坡度①定义:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)．②坡比:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡比).【即时应用】(1)思考:仰角、俯角、方位角有什么区别？提示:三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的.(2)思考:如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示:利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置.(3)如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察

3、站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的______方向.【解析】由已知∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，又AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝50°，60°－50°＝10°.∴灯塔A位于灯塔B的北偏西10°.答案：北偏西10°2.解三角形应用题的一般步骤(1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清量与量之间的关系.(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型.(3)选择正弦定理或余弦定理求解.(4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、近似计算要求.【即时应用】(1)已知A、B两地的距离为10km,B、C两地的距离为20km

4、,现测得∠ABC=120°，则A、C两地的距离为______km.(2)如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为______米.【解析】(1)如图所示，由余弦定理可得：AC2=100+400-2×10×20×cos120°=700，(2)设旗杆高为h米，最后一排为点A，第一排为点B，旗杆顶端为点C，则在△ABC中，所以∠ACB＝30°，由正弦定理，得故h＝30米.答案：测量距离的问题【方法点睛】求距离问题的注意事项(1)选定或确定要创建的三角形，要首先

5、确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.【例1】(1)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，则这条河的宽度为______.(2)隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，则两目标A、B之间的距离为______.【解题指南】(1)作出高线可直接应用直角三角形的边

6、角关系求得；(2)确定好三角形利用正弦定理和余弦定理解三角形求得.【规范解答】(1)如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120m.在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝120sin30°＝60(m)，因此这条河宽为60m.答案：60m(2)如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，∴∠CAD＝30°，在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.由正弦定理可得在△ABC中，由余弦定理可得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA，即两

7、目标A、B间的距离为km.答案：km【互动探究】若将本例(2)中A、B两点放到河的两岸,一测量者与A在河的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，则A、B两点的距离为______m.【解析】由正弦定理得答案：【反思·感悟】1.利用示意图把已知量和待求量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的模型.2.利用正、余弦定理解出所需要的边和角，求