正方形中的45度角[1].doc

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1、正方形中的45度角5.（2012江苏宿迁12分）(1)如图1，在△ABC中，BA=BC，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜∠ABC)。以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。求证：DE’=DE.（2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2.【答案】证明：（1）∵△BE’A是△BEC按逆时针方向旋转∠ABC得到，∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。∵∠DBE

2、=∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC=∠ABC。∴∠ABD＋∠E’BA=∠ABC，即∠E’BD=∠ABC。∴∠E’BD=∠DBE。在△E’BD和△EBD中，∵BE’=BE，∠E’BD=∠DBE，BD=BD，∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。（2）以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针方向旋转∠ABC=90°，得到△BE’A（点C与点A重合，点E到点E’处），连接DE’。由（1）知DE’=DE。由旋转的性质，知E’A=EC，∠E’AB=∠ECB。又∵BA=BC，∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。∴∠E’AD=∠E’AB＋∠BAC=90°。在Rt△DE’A中，

3、DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。【考点】旋转的性质，等腰（直角）三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）由旋转的性质易得BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE=∠ABC经等量代换可得∠E’BD=∠DBE，从而可由SAS得△E’BD≌△EBD，得到DE’=DE。（2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形DE’A，根据勾股定理即可证得结论。2.（2012宁夏区8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°。将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM。（1）求证：EF=F

4、M（2）当AE=1时，求EF的长。【答案】解：(1)证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，∴DE=DM，∠EDM=90°。∴∠EDF+∠FDM=90°。∵∠EDF=45°，∴∠FDM=∠EDF=45°。∵DF=DF，∴△DEF≌△DMF（SAS）。∴EF=MF。（2）设EF=x。∵AE=CM=1，∴BF=BM－MF=BM－EF=4－x。∵EB=2，∴在Rt△EBF中，由勾股定理得，即解得，。∴EF的长为。【考点】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45

5、°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF。（2）由（1）的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB－AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM－FM=BM－EF=4－x，在Rt△EBF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长。3.（2012广东珠海7分）如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B

6、′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADC=90°。∴∠A′DE=90°。根据旋转的方法可得：∠EA′D=45°，∴∠A′ED=45°。∴A′D=DE。∵在△ADA′和△CDE中，AD=CD，∠EDC=∠A′DA=90°，A′D=DE，∴△ADA′≌△CDE（SAS）。（2）∵AC=A′C，∴点C在AA′的垂直平分线上。∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠CAE=45°。∵AC=A′C，CD=CB′，∴AB′=A′D。∵在△AEB′和△A′ED中，

7、∠EAB′=∠EA′D，∠AEB′=∠A′ED，AB′=A′D，∴△AEB′≌△A′ED（AAS）。∴AE=A′E。∴点E也在AA′的垂直平分线上。∴直线CE是线段AA′的垂直平分线。【考点】正方形的性质，旋转的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定。【分析】（1）根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADC=90°，∠EA′D=45°，则∠A′DE=90°，再计算出∠A′ED=45°，根据等角对等边可得AD=ED，即可利用SAS证明△AA′D≌△CED