求圆的轨迹方程.doc

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1、作业：（1）圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为____________（答：）；（2）圆心在直线上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________（答：或）；（4）如果直线将圆：x2+y2-2x-4y=0平分，且不过第四象限，那么的斜率的取值范围是_（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一个圆，则实数k的取值范围为____（答：）；（6）若直线与圆切于点，则的值____（答：2）；（7）直线被曲线所截得的弦长等于（答：）；（8）一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3

2、)2=1上的最短路程是（答：4）；（9）已知是圆内一点，现有以为中点的弦所在直线和直线，则　　A．，且与圆相交　B．，且与圆相交　　C．，且与圆相离D．，且与圆相离（答：C）；（10）已知圆C：，直线L：。①求证：对，直线L与圆C总有两个不同的交点；②设L与圆C交于A、B两点，若，求L的倾斜角；③求直线L中，截圆所得的弦最长及最短时的直线方程.（答：②或　　③最长：，最短：）例1设方程，若该方程表示一个圆，求m的取值范围及这时圆心的轨迹方程。分析:配成圆的标准方程再求解解：配方得：该方程表示圆，则有，得，此时圆心的轨迹方程为，消

3、去m，得，由得x=m+3所求的轨迹方程是，注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中变式1方程表示圆，求实数a的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。解：原方程可化为当a时，原方程表示圆。又当，所以半径最小的圆方程为2、用待定系数法求圆的轨迹方程例2求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点与圆的位置关系，只须看点与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半

4、径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为．∵圆心在上，故．∴圆的方程为．又∵该圆过、两点．∴解之得：，．所以所求圆的方程为．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过、两点，所以圆心必在线段的垂直平分线上，又因为，故的斜率为1，又的中点为，故的垂直平分线的方程为：即．又知圆心在直线上，故圆心坐标为∴半径．故所求圆的方程为．又点到圆心的距离为．∴点在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该

5、如何来判定直线与圆的位置关系呢？例3求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解．解：则题意，设所求圆的方程为圆．圆与直线相切，且半径为4，则圆心的坐标为或．又已知圆的圆心的坐标为，半径为3．若两圆相切，则或．(1)当时，，或(无解)，故可得．∴所求圆方程为，或．(2)当时，，或(无解)，故．∴所求圆的方程为，或．说明：对本题，易发生以下误解：由题意，所求圆与直线相切且半径为4，则圆心坐标为，且方程形如．又圆，即，其圆心为，半径为3．若两圆相切，则．故，解之得．所以欲求圆的方程为，或．

6、上述误解只考虑了圆心在直线上方的情形，而疏漏了圆心在直线下方的情形．另外，误解中没有考虑两圆内切的情况．也是不全面的．点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、、或、、；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.3、用几何方法求圆的轨迹方程例4设圆满足:①截轴所得弦长为2;②被轴分成两段圆弧,其弧长的比为3:1,在满足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线的距离最小的圆的方程。分析:注意挖掘题目的条件,充分利

7、用圆的几何性质解决问题.解法一:设圆心为,半径为,则点到轴，轴的距离分别为，。由题设圆截轴所得劣弧对的圆心角为，知圆截轴的弦长为，故又圆截轴所得的弦长为,所以有.从而得又点到直线的距离为所以当且仅当时上式等号成立,此时，从而取得最小值.解此方程组得由于知于是,所求圆的方程是:或解法二:同解法一得将代入上式，整理得②把它看作b的二次方程,由于方程有实根,故判别式非负,即，得所以有最小值1，从而有最小值将其代入②式得2b2±4b+2=0.解得b=±1.将b=±1代入r2=2b2,得r2=2.由r2=a2+1得a=±1.综上a=±1,

8、b=±1,r2=2.由│a-2b│=1知a,b同号.于是,所求圆的方程是或点拨:求圆的方程通常有两类方法,一是几何法,即通过研究圆的性质、直线和圆、圆和圆的位置关系进而求得圆的基本量（圆心、半径）和圆的方程，二是代数法,即根据题意设出圆的方程,再利用条件得到有关