流体力学(连续性方程).pdf

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1、流体力学——微分形式的基本方程内容本章内容微分形式的流体力学基本方程描述空间点邻域内的物理量关系，求解这些方程可得到物理量在空间分布的细节，上一章讨论了运动参数的空间分布，这一章将把力的分布形式加入基本方程。主要内容主要内容微分形式的连续性方程和动量方程；作用在流体微元上的体积力和表面力；重力场、应力场、压强场；边界条件和初始条件等本章内容本章重点（1）不可压缩流体连续性方程；（2）纳维-斯托克斯方程；（3）压强的表达方式和单位；（4）静止和运动流体中压强分布特征。内容¾¾微分形式的连续性方程微分形式的连续性方

2、程¾作用在流体元上的力¾微分形式的动量方程¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件¾压强场流体运动的连续性17世纪初，英国年轻科学家哈维（W.Harvey）运用伽利略倡导的定量研究原则，测量出人的心脏每小时泵出约540磅（245Kg）的血，相当于人体重的两倍多，这么多血来自何方流向何方呢？哈维通过实验和逻辑思维否定了统治人类1400多年的陈旧观念，大胆提出从动脉到静脉的血液循环理论，虽然当时还不知道毛细血管的存在。直至45年后从发明的显微镜里首次观察到毛细血管，证实了哈维的理论。血液循环理论是流体连续

3、性原理的胜利，在科学史上有里程碑的意义。(图B3.1.1)微分形式的连续性方程如图B3.1.1所示，设流体流过以M(x,y,z)为基点，以dx,dy,dz为边长的控制体元。在δt时间内沿x方向净流出控制体（流出质量减去流入质量）的质量为按质量守恒定律，在时间内沿三个方向净流出控制体的总质量应等于控制体内减少的质量：(B3.1.5)取极限后可得(B3.1.6)利用质点导数概念，可改写为(B3.1.8)方程适用于：任何流体(B3.1.6)和(B3.1.8)式均为微分形式的三维流动连续性方程在不同条件下连续方程有不同

4、形式不可压缩流体因ρ=常数，由(B3.1.8)式，不可压缩流体的连续性方程为(B3.1.10)在直角坐标系中为(B3.1.11)方程只适用于：不可压缩流体在柱坐标系中（B3.1.10）式为(B3.1.12)可压缩流体定常运动因，由（B3.1.6）式，可压缩流体定常流动的连续性方程为(B3.1.13)在直角坐标系中为(B3.1.14)内容¾微分形式的连续性方程¾作用在流体元上的力¾微分形式的动量方程¾纳维-斯托克斯（N-S）方程¾边界条件与初始条件¾压强场体积力和表面力体积力体积力为穿越空间作用在所有流体元上的非

5、接触力，如重力、惯性力、电磁力等作用在流体体积元上的体积力δFb（）大小一般与流体元体积δτ（）成正比。故名体积力（图B3.2.1）；重力和惯性力正比于流体元的质量，又称为质量力。体积力可表示为空间位置和时间的分布函数。作用在M(x,y,z)点邻域内单位质量流体元上的体积力f为δFbf(x,y,z,t)=limδτ→0(B3.2.1)ρδτ作用在单位体积流体元上的体积力为ρf。作用在有限体积域τ的流体系统上的体积力合力为F=ρfdτ(B3.2.4)b∫τ表面力表面力为流场中假想面一侧的流体（或固体）对另一侧流体

6、的接触力，如压强、粘性切应力等作用在流体面积元上的表面力δFs（）除了与空间位置、时间有关外，还与面积元的方位有关。作用在过M(x,y,z)点，外法线单位矢为n的面积元δA上的单位面积表面力（图B3.2.2）为：δFsp(x,y,z,t)=limn(B3.2.5)δA→0δApn称为表面应力，脚标n代表面积元的方位作用在有限表面域A上的表面力合力为F=pdA(B3.2.6)s∫nA表面应力Pn的脚标n代表面积元δn的方位，指该面积元的单位外法矢量重力场n。Pn的方向不一定与面积元垂直在Z轴垂直向上的直角坐标系中

7、，作用在单位质量流体之上的重力构成重力场（图B3.2.3）(B3.2.7)g为重力加速度重力是有势力：(B3.2.8)设(B3.2.9)简称为重力势，是单位质量流体元具有的重力势能重力势梯度的负值即为重力流体应力场静止流体中的应力状态在静止流体中没有切向应力（），只有法向应力，静止流体中的表面应力始终与作用面垂直。在静止流体中一点的法向应力在各个方向均相等（图B3.2.4）称p为静压强，就是热力学中的平衡压强，负号表示流体只受压运动的无粘性流体中也没有切向应力，应力状态与静止流体相似。运动流体的应力状态在运动粘

8、性流体中,一点的表面应力与作用面不垂直，即有法向分量又有切向分量，而且这些分量的大小与作用面的方位有关，称其为应力状态。一点的应力状态可用通过该点三个互相垂直的面积之上三组表面应力分量完全确定。如外法矢沿x轴正向的面积元上一组应力分量为（图B3.2.5）（x法向）（y切向）（z切向）同另外两个正交面积元上的两组应力分量共九个分量构成应力矩阵（张量）(B3.2.14)可以证明九个分量中只