牛顿迭代法求解非线性方程组的解.pdf

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1、数值计算实习报告——非线性方程组的牛顿迭代解法姓名：吴健学号：139084186班级：数132非线性方程组的数值解法摘要本文着重介绍了求解单变量非线性方程fx()0的牛顿迭代法理论和MATLAB求解过程，其中二分法、不动点迭代等也是常用的解非线性方程组的重要工具，本文把牛顿迭代法推广到非线性方程组，对于方程变量及个数相当大时，很难通过运算得出结果，此时采用MATLAB中的numjac命令很好的避免牛顿迭代法中所遇到的jacobi矩阵难求的问题。关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、jacobi

2、矩阵一、前言非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延伸到方程组的解法。本文以如下多元非线性方程组为例，尝试寻找一种数值方法求解该方程组。13xcos(xx)0123222x81(x0.1

3、)sinx1.060123xx10ex12201033二、线性方程与非线性方程线性方程的形式如ykxb(2-1)而对于这类问题已经完全地被解决了，而诸如函数fx()是多项式函数，即nn1fx()axaxaxa01nn1(2-2)其中a0,(ai0,1,,)n为实数，当fx()0称为n次代数方程。这类方程当0in5时就不能直接用公式表示方程的根，所以只好选用数值解代替。还有一类函数成为超越函数，如x/10exsin100(2-3)它在整个x轴上有无穷多个

4、解，若x的取值范围不同，解也不同，所以在讨论非线性方程的求解问题时，必须强调x的定义域，即x的求解区间[,]ab。超越函数都可以通过多项式函数插值得到，故解非线性方程归结为求解多项式函数的解或者是直接求解超越函数。三、求解非线性方程的其他方法1、二分法考察有根区间[,]ab，取中点x(ab)/2将它分成两半，假设中点x不是00fx()的零点，然后进行根的搜索，即检查fx()与fa()是否同号，如果确系同号，0**则说明所求根x在x的右侧，这时令axb,b;否则x必在x的左侧，这时01010令a

5、ab,x.对于压缩了的有根区间[,]ab进行如上用样的操作，直到找到方11011程的根。2、不动点迭代法将方程fx()0(3-1)**改写成等价的形式xx(),若要求x满足fx()0,则**xx()(3-2)*反之亦然.称x为函数()x的一个不动点.求fx()的零点就等价于求()x的不动点，选择一个初始值x，将它代入xx()的右端，即可求得xx()，如此010反复迭代计算x(),xk0,1,(3-3)kk1这时的()x称为迭代函数.如果对x[,]ab,有0limxx

6、*(3-4)kk成立，则称迭代方程xx()收敛,且(3-2)为()x的不动点，故称为不动点迭kk1代法。其基本思想是将隐式方程xx()归结为一组显示的计算公式(3-3)，就是说，迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程。3、线性近似法线性近似法中比较突出的有牛顿法、弦截法等，牛顿法的基本思想是将非线性方程fx()0逐步归结为某种线性方程来求解。设x,x是fx()0的近似根，我们利用fx(),fx()构造一次插值多项式kk1kk1px()，并用px()0的根作为fx()0的新的近似根

7、x.由于11k1fx()fx()kk1px()fx()(xx)(3-5)1kkxxkk1因此有fx()kxx()xx(3-6)k11kkkfx()fx()kk1由下文中的牛顿迭代法会知道，这里的迭代公式可以看作牛顿公式fx()kxx(3-7)kk1'fx()k'fx()kkfx(1)中的导数fx()用差商取代的结果，这种算法成为弦截法。kxxkk14、上述算法的缺点二分法：收敛速度慢，且无法知道是否有重根。不动点迭代法：收敛与否或收敛快慢取决于函数xx()的

8、性质。弦截法：在牛顿法中只需要两个节点，弦截法需要找三个节点，收敛速度慢，要求初始值的选取靠近方程的根，否则也可能会不可能。四、牛顿法1、牛顿法思想'设已知方程fx()0有近似根x（假定fx()0），将函数fx()在点x展kkk开，有'fx()fx()fx()(xx)(4-1)kkk于是方程fx()0可以近似地表示为'fx()fx()(xx)0(4-2)kkk式（4-2）是线性方程，记其根为x，则x的计算公式