高数竞赛极限与连续专题.ppt

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1、第一讲极限与连续一、极限的求法1.利用极限的运算性质方法：将所求函数或数列通过一些初等变换：因式分解、根式有理化、三角公式变换等，再利用极限的四则运算法则、复合函数极限的运算法则、无穷小的运算法则。2.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：3.利用重要极限4.利用洛必达法则方法：先化简（初等变换、等价无穷小替换、非零因子极限先求出、变量替换），再用洛必达法则解法一：原极限解法二：先求:原极限注：数列极限利用函数极限来求例7已知(x)为连续函数，求5.利用左右极限一般分段函数求趋于分段点的极限用左右极限，特别含有以下几个极限也用左右极限例1求解:原式=1注意此项含绝对值6

2、.利用夹逼准则(1).一般的放缩例3．求解(2).对积分型极限利用积分的性质放缩例4．求解：(3).进行初等变形后再用夹逼定理解：7.递归数列极限的求法证明单调有界方法：1）、归纳法2）、利用函数解解7.利用定积分的定义利用特别解8利用Taylor展开式求极限例1解：原式9.利用导数的定义解解10.利用中值定理解二、由极限值确定参数解2.确定常数a,b,c的值,使解:原式=又由～,得解:解:解:三、无穷小的比较、无穷小阶的估计方法：无穷小比较实质是求极限。无穷小阶的估计最好的方法利用泰勒展开式。四、函数的连续与间断1、判别函数连续的方法；（1）用定义。（2）、初等函数的连续

3、性。2、间断点类型的判别实质是求极限解.其中x=0为跳跃间断点,x=-1x=-2,-3,…….为无穷间断点.例2解2、利用连续求函数4°闭区间上的连续函数性质(1)最值定理设f(x)在[a,b]上连续,则f(x)必能取得其在[a,b]上的最大值和最小值(2)介值定理设f(x)在[a,b]上连续,则对介于f(a),f(b)之间的任一值c,可找到η[a,b]使(3)零值定理设f(x)在[a,b]上连续,若f(a)f(b)<0,则必存在一ξ(a,b)使例4设f(x)是[a,b]内连续,证明:存在ξ(a,b),使解由条件知f(x)在闭区间[x1,xn]上连续，据最值定理,f(

4、x)在[x1,xn]上必能取得最小值m,最大值M据介值定理，存在ξ(x1,xn)(a,b),使例5设f(x)是[0,1]上的非负连续函数,且f(0)=f(1)=0,求证:对任意的实数r(0