黎曼积分的概念.ppt

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1、第十章数量函数积分分割-近似-求和-取极限第一节数量函数黎曼积分的概念及性质一、质量问题二、数量函数积分的定义三、什么样的数量函数黎曼可积四、数量函数黎曼可积的性质非均匀分布时“直线段”质量问题..分割：..回忆一元积分一、质量问题非均匀分布时“直线段”质量问题工程中一些梁的非均匀承载问题可归结为这类问题...分割：..均匀分布时：质量=密度×长度...............................代替：求和：对每一个小区间令取极限得这就是定积分令取极限得这就是定积分一般记为非均匀分布时“曲线段”质量问题....................................

2、........................将一元函数积分进行推广............................................................？平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题..............................？平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题设平面曲线L上非均匀地分布着质量,其分布密度为将曲线L任意分割成n个小段每小段的弧长记为则每小段上的质量可近似地表示为令求和并取极限便得曲线L的质量为....................非均匀分布时平面薄板质量问题均匀分布时：质量=密度×面积继续进行推广...

3、.................在直角坐标系中,用平行于坐标轴的坐标网格进行分割,则非均匀分布时平面薄板质量问题设平面薄板D上非均匀地分布着质量,其分布密度为将区域D任意分割成n个小块每小块的面积记为则每小块上的质量可近似地表示为令求和并取极限便得薄板D的质量为............非均匀分布时“曲面”质量问题继续进行推广非均匀分布时“立体”质量问题均匀分布时：质量=密度×体积继续进行推广我们已经连续解决了四个这类型的问题,所用方法相同:分割—代替—求和—取极限以上讨论的几个问题的共同点：对自变量的取值范围作任意分割.形式相同的和式：(函数在某点的值)×(小几何体的度量值)形式相同的

4、极限：{分割后小几何体的度量值}具有任意性看成均匀变化时,所求量可表示为两个量的乘积.所求量对区域具有可加性.二、数量函数积分的定义设为空间中可度量的几何形体，（其中若极限存在，则称此极限式定义在上的有界数量函数，分割-近似-求和-取极限值为函数在上的黎曼积分，记为此时称函数在上是黎曼可积的，记为——被积函数其中，——积分号；——积分区域；——积分元素。非均匀分布时“直线段”质量问题定积分非均匀分布时平面薄板质量问题直角坐标系二重积分非均匀分布时“立体”质量问题直角坐标系三重积分非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长的曲线积分L为封闭曲线平面曲线非均匀分布时“曲线段”质量问题对弧长的曲线积

5、分为封闭曲线空间曲线非均匀分布时“曲面”质量问题对面积的曲面积分∑为封闭曲面三、什么样的数量函数可积(黎曼可积)根据黎曼积分的定义可以得出：若则若在内有界，且在除去中有限个低于所在空间维数的几何形体外连续,则设为R3中的可度量的几何形体，则黎曼积分应具有一些极限所具有的性质这就是说，四、黎曼积分性质性质1若则其中，为区域的度量值。质量=密度×几何形体的度量值二重积分：相当于以D为底，高为1的平顶柱体体积V=

6、D

7、。定积分(区间[a,b]的长度)二重积分(平面区域D的面积)(R3中立体的体积)三重积分曲线积分(平面曲线L的弧长)曲面积分(曲面∑的面积)例1计算解这相当于质量问题中的(

8、均匀分布)故以D为底高为4的平顶柱体体积例2性质2(线性性质)若为实数，则且该性质可以推广至有限个函数的线性组合情形由函数对区域和函数f(X),g(X)进行分割,代替,求和,取极限得由极限的运算法则，有证表示以D为底，以z=y(x,y)为曲顶的曲顶柱体的体积观察二重积分的几何意义)xyzo观察，比较这两个图形，看将D分成D1+D2时应满足什么条件？性质3(对积分区域的可加性)叙述性质3设将任意分成可度量的两个部分：与除边界外无其它公共部分，则且想一想：分成下面的与行不行？将行！行！行！可以将性质3中的任意分成有限个只有公共边界的部分：设则性质4(保号性)性质4的推论1（比较性质）设

9、则性质4(保号性)推论2（绝对值不等式）性质5(估值定理)设且则有..二维空间两个圆柱体之间若是有界闭区域，设则即连续函数的介值定理性质6(积分中值定理)若是有界闭区域，则至少存在一点使得如果会有什么结果出现？性质6(积分中值定理)若是有界闭区域，则至少存在一点使得现在看这里如果会有什么结果出现？是有界闭区域，则至少现在看这里需要什么条件来保证/能不能确保中值定理中的如果在区域上恒有则可保证还不能存在N(X0),使得f(X)>0。保