函数逼近与计算.ppt

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1、第三章函数逼近与计算一、问题的提出称为逼近的误差或余项。如何在给定精度下，求出计算量最小的近似式，这就是函数逼近要解决的问题。§1引言用简单的函数近似地代替函数近似代替又称为逼近，称为被逼近的函数，两者之差，是计算数学中最基本的概念和方法之一。称为逼近函数，函数二、函数逼近问题的一般提法：对于函数类中给定的函数，要求在另一类较简单的且便于计算的函数类中寻找一个函数，使与之差在某种度量意义下最小。注：本章中所研究的函数类通常为区间上的连续函数，记做;而函数类通常是代数多项式或三角多项式。的函数逼近称为最佳一致逼近或均匀逼近。三、常用的度量标准：(一)最佳一致逼近若以函数f(x)和P(x)的最大误

2、差作为度量误差f(x)－P(x)“大小”的标准,在这种意义下(二)最佳平方逼近：采用作为度量误差“大小”标准的函数逼近称为最佳平方逼近或均方逼近。§2最佳一致逼近一、最佳一致逼近的概念设函数是区间对于任意，如果存在多项式，使不等式则称多项式在区间上一致逼近(或均匀逼近)于函数定义上的连续函数，给定的成立，。所谓最佳一致逼近问题就是对给定的区间上的连续函数，要求一个代数多项式,使得其中，代表由全体代数多项式构成的集合。称为最佳一致逼近多项式二、最佳一致逼近多项式的存在性定理1（维尔斯特拉斯定理）若f(x)是区间[a,b]上的连续函数，则对于任意>0，总存在多项式P(x)，使对一切a≤x≤b有上

3、的最佳一致逼近在能否在所有次数不超过n的代数多项式中找到一个表示由所有次数不超过n的代数多项式构成的线性空间。空间中的最佳一致逼近问题。意义下:，使得其中，这就是三、§3最佳一致逼近多项式一、最佳一致逼近多项式的存在性定理2（Borel定理)在中都存在对的最佳一致逼近多项式,记为的n次最佳一致逼近多项式。称为简称最佳逼近多项式。,使得成立.对任意的二、相关概念1、偏差定义上的偏差。则称为与在注：，集合，记作，它有下界0。显然，若的全体组成一个2、最小偏差则称若记集合的下确界为为在上的最小偏差。定义3、偏差点定义设若在上有则称是的偏差点。若若则称则称为“正”偏差点。为“负”偏差点。4、交错点组若

4、函数定义在其定义域的某一区间个点上存在使得则称点集为函数在区间上的一个交错点组，称为交错点组的点。点三、上的最佳一致逼近的特征引理3.1是区间上的连续函数，是的n次最佳一致逼近多项式，存在正负偏差点。则设必同时定理3（Chebyshev定理）是区间上的连续函数，设则是的n次最佳一致逼近多项式的充要条件是:在区间上存在一个至少由组。个点组成的交错点推论1是区间上的连续函数，是的n次最佳一致逼近多项式，在内存在且保号，在区间个点组成的交错点组，端点都在交错点组中。上恰好存在一个由设若则且两推论2推论3中,若存在对函数的最佳一致逼近元，则惟一.在是区间上的连续函数，的次最佳一致逼近多项式是的某个次插

5、值多项式。设则四、一次最佳逼近多项式1、推导过程设，且在内不变号，要求在上的一次最佳一致逼近多项式由推论1，在上恰好有3个点构成的交错且区间端点属于这个交错点组，组，设另一个交错点为则解得即即2、几何意义3、举例求在上的最佳一次逼近多项式。解：由可算出故解得由得于是得的最佳一次逼近多项式为故误差限为(*)在（*）式中若令，则可得一个求根的公式五、Chebyshev多项式及其应用(1)定义称为n次Chebyshev多项式.[注]Itisveryimportant令则而故为关于的次代数多项式。(2)性质正交性：由{Tn(x)}所组成的序列{Tn(x)}是在区间[-1,1]上带权的正交多项式序列。

6、且递推关系相邻的三个切比雪夫多项式具有如下递推关系式：奇偶性：切比雪夫多项式，当为奇数时为奇函数；为偶数时为偶函数。在区间[-1,1]上有个不同的零点Tn(x)在[-1,1]上有n+1个不同的极值点使Tn(x)轮流取得最大值1和最小值-1。切比雪夫多项式的极值性质Tn(x)的最高次项系数为2n-1(n=1,2,…)。在-1≤x≤1上，在首项系数为1的一切n次多项式中,与零的偏差最小，且其偏差为即，对于任何，有该性质又被称为Chebyshev多项式的最小模性质.注：区间上的最小零偏差多项式(3)应用多项式的降阶（最小零偏差问题）在所有次数为的多项式中求多项式,在给定的有界闭区间上与

7、零的偏差最小。使其最小零偏差多项式问题。这一问题被称为不失一般性，可设的首项系数为1，有界闭区间为.所讨论的对一般区间，可先将换为，考虑在上的逼近，再将换回，得到。最后寻求最小零偏差多项式的问题求的次最佳一致逼近多项式的问题。事实上等价于即求使其满足：~Pn1注：在上首项系数为1的最小零偏差多项式为。设为上的次多项式，要求在上的不超过次的最佳一致逼近多项式。由于首项系数为1的次Chebyshev