函数的解析式与定义域.ppt

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1、第五讲　函数的解析式与定义域2．(1)函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围．(2)根据函数解析式求函数定义域的依据是①分式的分母不得为0；②偶次方根的被开方数不得小于0；③对数函数的真数必须大于0；④指数函数和对数函数的底数必须大于0且不等于1；⑤三角函数中的正切函数y＝tanx(x∈R，且x≠kπ＋，k∈Z)，余切函数y＝cotx(x∈R，x≠kπ，k∈Z)等．(3)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，是指满足a≤g(x)≤b的x的取值范围，已知f[g(x)]的定义域是[a，b]指的是x∈[

2、a，b]．(4)实际问题或几何问题给出的函数的定义域：这类问题除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义．(5)如果函数是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．(6)求定义域的一般步骤：①写出函数式有意义的不等式(组)；②解不等式(组)；③写出函数的定义域．答案：C2．设函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，在x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1，则x>1时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝(x＋3)2－1B．f(x)＝(x－3)2－1C．f(x)＝(x－3)

3、2＋1D．f(x)＝(x－1)2－1解析：当x≤1时，f(x)＝(x＋1)2－1的对称轴为x＝－1，最小值为－1，又y＝f(x)关于x＝1对称，故在x>1时，f(x)的对称轴为x＝3且最小值为－1.故选B.答案：B答案：C答案：C答案：B类型一　　求函数的解析式解题准备：求函数的解析式一般有四种情况：1．根据某实际问题需建立一种函数关系式，这种情况需引入合适的变量，根据数学的有关知识找出函数关系式．2．当题中给出函数特征，求函数解析式时，可用待定系数法，如函数是二次函数，可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a、b、

4、c是待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a、b、c的值即可．3．换元法求解析式，f[R(x)]＝g(x)，求f(x)的问题，往往可设R(x)＝t，从中解出x，代入g(x)进行换元来解．[分析]求复合函数的解析式一般用代入法，只需替换自变量x的位置即可．[点评]求解分段函数的有关问题，应注意“里”层函数的值域充当“外”层函数的定义域，应分段写出函数的解析式．分段函数是一个整体，必须分段处理，最后还要综合写成一个函数表达式．探究：(1)已知f(x－2)＝3x－5，求f(x)．(2)已知f(1－cosx)＝sin2x，求f(x)

5、．(3)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．解析：(1)令t＝x－2，则x＝t＋2，t∈R由已知有：f(t)＝3(t＋2)－5＝3t＋1故f(x)＝3x＋1.(2)∵f(1－cosx)＝sin2x＝1－cos2x令1－cosx＝t则cosx＝1－t∵－1≤cosx≤1，∴0≤1－cosx≤2，∴0≤t≤2∴f(t)＝1－(1－t)2＝－t2＋2t，(0≤t≤2)故f(x)＝－x2＋2x，(0≤x≤2)．[点评]①已知f[g(x)]是关于x的函数，即f[g(x)]＝F(

6、x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)＝t，由此能解出x＝φ(t)；将x＝φ(t)代入f[g(x)]＝F(x)中，求得f(t)的解析式；再用x替换t，便得f(x)的解析式．注：换元后注意确定新元t的取值范围．②利用待定系数求解析式时，主要寻求恒等关系解出等式中的未知数．[点评]求函数的定义域往往归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且要注意端点值或边界值的取舍．类型三　　求抽象函数的定义域解题准备：抽象函数的定义域对于无解析式的函数的定义域问题，要注意如下几点：1．f[g(x)]的定义域为[a

7、，b]，指的是x的取值范围为[a，b]，而不是g(x)在范围[a，b]内，如f(3x－1)的定义域为[1,2]，指的是f(3x－1)中的x的范围是1≤x≤2.2．f[g(x)]与f[h(x)]联系的纽带是g(x)与h(x)的值域相同．类型四　　函数的建模应用解题准备：由实际问题抽象出函数关系式，就是用函数知识解决实际问题的基础．解这类题的一般步骤是：①设元；②列式；③用x表示y；④考虑定义域(这个定义域必须使实际问题有意义)．【典例4】某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价为60元，该厂为鼓励销售订购，决定当一次订

8、购量超过100个时，每多订一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元．(1)当一次订购量为多少时，零件的实际出厂单价恰为51元；(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂价为p元，写出p＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购500个零件时，