函数的最大值、最小值.ppt

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1、第2课时　函数的最大值、最小值目标要求1.理解函数的最大(小)值及其几何意义．2．会求一些简单的函数最大值或最小值.热点提示1.利用函数的单调性确定函数最值是一种常用方法．2．感悟数形结合的思想.1．函数的最大值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最大值是图象最高点的纵坐标．温馨提示：①定义中M首先是一个函数值，它是值域的一个元素，如函数f(x)＝－x2(x∈R)的最大值为0，有f(0)＝0，注

2、意对“存在”一词的理解．②对于定义域内全部元素，都有f(x)≤M成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．2．函数的最小值(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最小值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最小值是图象最低点的纵坐标．3．函数的最值(1)定义：函数的最大值和最小值统称为函数的最值．(2)几何意义：函数y＝f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标．(3)说明：函数的最值是在整个定义域内的性质．●想一想：从图象上看，函数的最

3、大值、最小值在什么位置取得？提示：最大值(最小值)是函数的整体概念，从图象上看，最大值(最小值)是整个函数图象的最高点(最低点)．答案：C2．函数f(x)＝9－ax2(a>0)在[0,3]上的最大值为()A．9B．9(1－a)C．9－aD．9－a2答案：A3．函数y＝2x2＋1，x∈N*的最小值为________．答案：34．函数f(x)＝2x＋1在[0,1]上的最大值是a，最小值是b，则a＋b＝________.解析：a＝f(1)＝3，b＝f(0)＝1，则a＋b＝3＋1＝4.答案：4类型一利用图象法求最值【例1】已知函数f(x)＝

4、x＋1

5、＋

6、x－1

7、.(1)画出f(x)

8、的图象；(2)根据图象写出f(x)的最小值．思路分析：(1)讨论x与±1的大小，化解析式为分段函数解析式形式；(2)函数图象最低点的纵坐标是f(x)的最小值．(2)由图象，得函数的最小值是2图象法求函数y＝f(x)最值的步骤：(1)画出函数y＝f(x)的图象；(2)依据函数最值的几何意义，借助于图象写出最值．1求函数y＝

9、x＋1

10、－

11、2－x

12、的最值．解：思路分析：先用定义研究函数在区间上的单调性，再求最值．温馨提示：运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．(1)运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是

13、当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)函数的最值与单调性的关系若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)；若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)．类型三二次函数的最值问题【例3】求f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．思路分析：解答本题可先求出f(x)的对称轴x＝a，然后就a与区间[0,2]的关系进行讨论，分别求出f(x)的最大值和最小值．当0≤a≤2，即对称轴x＝a在区间[0,2]内时，求函数的最大值，应再细分为0≤a<1和

14、1≤a≤2讨论．解：f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.(1)当a<0时，由图①可知，f(x)min＝f(0)＝－1，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(2)当0≤a<1时，由图②可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(2)＝3－4a；(3)当1≤a≤2时，由图③可知，f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1；(4)当a>2时，由图④可知，f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.(1)求函数在某区间上的最值，一般应先判定函数在该区间的单调性．(2)求二次函数的最值时，应判断它的开

15、口方向、对称轴与区间的关系，若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系．3求函数f(x)＝x2－(2＋6a2)x＋3a2在区间[0,1]上的最小值m(a)和最大值M(a)．类型四最值的实际应用【例4】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润是多少？思路分析：解答本题应先设出售价x元及利润y元，建立利润与售价的关系式．解