大一上学期同济版高数第二章导数的概念.ppt

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1、第二章微积分学的创始人:德国数学家Leibniz微分学导数描述函数变化快慢微分描述函数变化程度都是描述物质运动的工具(从微观上研究函数)导数与微分导数思想最早由法国数学家Ferma在研究极值问题中提出.英国数学家Newton1一、引例二、导数的定义三、导数的几何意义四、函数的可导性与连续性的关系五、单侧导数第一节导数的概念第二章21.变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为则到的平均速度为而在时刻的瞬时速度为自由落体运动一、引例3设有一非均匀的细杆,与质量之间的关系是。求细杆处杆的密度。解:设杆长在处获一增量,那么这一小段长为,杆的质量应是其均匀密度是则

2、当时,其极限值就是杆在处的密度即2、非均匀细杆的密度上任意一点杆长杆的一端在数轴的原点0,43.曲线的切线斜率曲线在M点处的切线割线MN的极限位置MT(当时)割线MN的斜率切线MT的斜率52.切线问题割线的极限位置——切线位置62.切线问题割线的极限位置——切线位置72.切线问题割线的极限位置——切线位置82.切线问题割线的极限位置——切线位置92.切线问题割线的极限位置——切线位置102.切线问题割线的极限位置——切线位置112.切线问题割线的极限位置——切线位置122.切线问题割线的极限位置——切线位置132.切线问题割线的极限位置——切线位置142.切

3、线问题割线的极限位置——切线位置15三个问题的共性:切线斜率所求量为函数增量与自变量增量之比的极限.类似问题还有:加速度角速度电流强度是速度增量与时间增量之比的极限是转角增量与时间增量之比的极限是电量增量与时间增量之比的极限变化率问题线密度瞬时速度16二、导数的定义定义1.设函数在点存在,并称此极限为记作:即则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.17曲线在M点处的切线斜率说明:在经济学中,边际成本率,边际劳动生产率和非均匀杆的密度运动质点的位置函数在时刻的瞬时速度边际税率等从数学角度看就是导数.18若上述极限不存在,在点不可导.若也称在若函数在

4、开区间I内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:就说函数就称函数在I内可导.的导数为无穷大.(简称导数)192、导数为常数,导函数为函数。4、求导数即为求导函数在某一点处的函数值。注意:特别函数在x=0处的导数可写成3则20求导三步法:设1、求函数的增量2、算比值3、求极限三、求导举例21解法一:例1求解法二:22例2.求函数(C为常数)的导数.解:即例3.求函数解:23说明:对一般幂函数(为常数)例如,(以后将证明)24例4.求函数的导数.解:则即类似可证得25的导数.解:例6求函数的导数.解:例5求函数26例7.求函数的导数.解:即27例8

5、.证明函数在x=0不可导.证:不存在,28原式是否可按下述方法作:存在,求极限解:原式例9.设不能确定是否存在。29四、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为若曲线过上升;若曲线过下降;若切线与x轴平行,称为驻点;若切线与x轴垂直.曲线在点处的切线方程:法线方程:30解由导数的几何意义,得切线斜率为所求切线方程为法线方程为例1031例11.问曲线哪一点有垂直切线?哪一点处的切线与直线平行?写出其切线方程.解:令得对应则在点(1,1),(–1,–1)处与直线平行的切线方程分别为即故在原点(0,0)有垂直切线32五、函数的可导性与连续性的关系定理1.证:设在点x处可

6、导,存在,因此必有其中故所以函数在点x连续.注意:函数在点x连续未必可导.反例:在x=0处连续,但不可导.即33解:而不存在例12讨论34高等数学第十`二讲35在点的某个左邻域内六、单侧导数若极限则称此极限值为在处的左导数,记作即(右)(右)例如,在x=0处有定义2.设函数有定义,存在,36定理2.函数在点且存在简写为在点处左导数存在定理3.函数(右)在点必左连续.(右)若函数与都存在,则称显然:在闭区间[a,b]上可导在开区间内可导,在闭区间上可导.可导的充分必要条件是且37例13.设,问a取何值时,在都存在,并求出解:故时此时在都存在,显然该函数在x=0

7、连续.38求解:中当所以,尽管在x=0的左右两侧f(x)的表达式一样,仍需要用充要条件去判别。不存在例14已知39例15解:因为设存在,且求所以40在处连续,且存在,证明:在处可导.证:因为存在,则有又在处连续,所以即在处可导.例16.设故41内容小结1.导数的实质:3.导数的几何意义:4.可导必连续,但连续不一定可导;5.已学求导公式:2.增量比的极限;切线的斜率;42不连续,一定不可导.直接用导数定义;看左右导数是否存在且相等.6.判断可导性43思考与练习1.函数在某点处的导数区别:是函数,是数值;联系:注意:有什么区别与联系??与导函数442.设存在,

8、则3.已知则4.若时,恒有问是否在可导?解:由题设由

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