大学数学概率论的基本概念第二章.ppt

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1、一、频率及其性质三、概率的性质二、概率的公理化定义第二节 随机事件的概率研究随机现象,不仅关心试验中会出现哪些事件,更重要的是想知道事件出现的可能性大小,也就是事件的概率.概率是随机事件发生可能性大小的度量事件发生的可能性越大,概率就越大!例如,了解发生意外人身事故的可能性大小,确定保险金额.了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小,合理配置服务人员.了解每年最大洪水超警戒线可能性大小,合理确定堤坝高度.一、频率及其性质定义次数为频率.易见,频率具有下述基本性质:1.2.3.设是两两互不相容的事件,则若在相同条件下进行次试验,

2、其中发生的则称为事件发生的历史上著名的投掷硬币试验记录0.51810.50690.50160.500610612048601912012204840401200024000DeMorganBuffonPearonPearon正面频率(/n)正面次数()投掷次数(n)试验者试验表明:虽然每次投掷硬币事先无法准确预知出现正面还是反面,但大量重复试验时,发现出现正面和反面的次数大致相等,即各占总试验次数的比例大致为0.5,并且随着试验次数的增加,这一比例更加稳定的趋于0.5.在充分多次试验中,事件的频率总在一个定值附近摆动,而且,试

3、验次数越多,一般来说摆动越小.这个性质叫做频率的稳定性.以后有人不断把它算得更精确.1873年,英国学者沈克士公布了一个π的数值,它的数目在小数点后一共有707位之多!圆周率π=3.1415926……是一个无限不循环小数,我国数学家祖冲之第一次把它计算到小数点后七位,这个记录保了1000多年!例1:???你能猜出他怀疑的理由吗?各数码出现的频率应都接近于0.1,或者说,它们出现的次数应近似相等.数字0123456789出现次数60626768645662445867但是,经过几十年后,曼彻斯特的费林生对它产生了怀疑.原因是他统

4、计了π的608位小数,得到下面的表:但7出现的次数过少.例1检查某工厂一批产品的质量,从中分别抽取10件、100件、20件、200件、150件、50件、300件检查,检查结果及次品出现的频率列如下表.10205010015020030001357111600.0500.0600.0500.0470.0550.053由上表可以看出,在抽出的件产品中,次品数随着的不同而取不同值,但次品频率仅在0.05附近有微小变化.这里0.05就是次品频率的稳定值.抽取产品总件数次品数次品频率频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行

5、一连串(n次)试验,所得到的频率可以各不相同,但只要n相当大,频率与概率是会非常接近的.因此,概率是可以通过频率来“测量”的,频率是概率的一个近似.概率的统计定义定义在相同条件下进行n次重复试验,若事件A发生的频率随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数P附近摆动,则称P为事件A的概率,记为P(A).概率被视为频率的稳定值,从而应具有与频率相应的性质:1.2.3.设是两两不相容的事件,则例如,若我们希望知道某射手中靶的概率,应对这个射手在同样条件下大量射击情况进行观察记录.若他射击n发,中靶m发,当n很大时,可用频率m/n作为他

6、中靶概率的估计.例2从某鱼池中取100条鱼,做上记号后再放入该鱼池中.先从该池中任意捉来40条鱼,发现其中两条有记号,问池内大约有多少条鱼?解设池内有条鱼,则从池中捉到一条有记号鱼的概率为它近似于捉到有记号鱼的频率即故池内大约有2000条鱼.下面请同学们来回答几个问题:1、假定一个数学模型指出某事件出现的概率是1/2,如果你做了100次试验,这个事件发生了20次,你会有什么想法?如果你有20位朋友,他们每人都做100次试验,在这2000次试验中,这个事件只发生了300次,你又会有什么想法?2、医生在检查完病人的时候摇摇头“你的

7、病很重,在十个得这种病的人中只有一个能救活.”当病人被这个消息吓得够呛时,医生继续说“但你是幸运的.因为你找到了我,我已经看过九个病人了,他们都死于此病.”医生的说法对吗?在学习几何和代数时,我们已经知道公理是数学体系的基础.数学上所说的“公理”,就是一些不加证明而公认的前提,然后以此为基础,推演出所讨论对象的进一步的内容.即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.下面介绍用公理给出的概率定义.1933年,前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单,但在此基础上建立起了概率论的宏伟

8、大厦.二、概率的公理化定义定义3:设E是随机试验,S是它的样本空间,对于E的每一件事件A赋予一个实数,记为P(A),若P(A)满足下列三个条件:1.非负性:对每一个事件A,有2.完备性:3.可列可加性:对任意可数个两两互不相容的事件有则称P(A)为事件A的概率.非负性说明,任

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