大学高等数学经典课件.ppt

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1、第六节函数图形的描绘综合上述,要作出函数的图形,可以按如下步骤进行(1)考察函数的基本性质,例如定义域,奇偶性,周期性,连续性等以便作图;奇偶性,周期性使画图简单.(2)确定图象上的一些特殊点,例如与坐标轴的交点f(x)=0,顶点f’=0,间断点和始(终)点.(3)利用导数研究函数的单调区间与极值,凹凸区间与拐点.(4)求出曲线的全部渐近线(5)需要时可由曲线的方程计算出一些适当的点的坐标.(6)列表表示上述讨论的结果,在坐标系里画出渐近线和控制点(各种特殊点,包括极值顶点,拐点等),再根据单调性与凹凸性,可确定曲线的走向,画出该曲线

2、.例5作出例4中函数的图形(1)定义域为x≠1的实数;当x=1时为间断点,x=0时y=-9/4,y=0,x=3曲线与两条坐标轴的交点为(0,-9/4),(3,0)(2)令y’=0,得到x=-1,x=3.于是-1,1,3把函数的定义域分成四个区域:曲线在(-∞,-1],[3,+∞)之内y’>0,函数单调上升;曲线在[-1,1),(1,3]内y’<0函数单调下降.函数在x=-1时,它从左到右,一阶导数由大到小(变号)有极大值y(-1)=-2;函数在x=3时它从左到右,一阶导数由小到大(变号)有极小值y(3)=0(3)当x<1时,y”<0,

3、曲线上凸,当x>1时,y”>0,曲线下凹,没有拐点.x=1时,函数没有定义,但y”不存在.函数值为无穷大.因此x=1不是点.(4)渐近线为x=1和y=x/4-5/4所以x=1是曲线的竖直渐近线是曲线的斜渐近线(5)函数没有始点和终点,为此我们作一些辅助点(2,1/4),(4,1/12)(-2,-25/12)yxx=14y=x-5x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,3)3(3,+∞)y’+0--不存在--0+y”------不存在+++y---2---∞,+∞+0+综合上面的讨论,列表如下:下面我们研究三个问题(1)利用导数证明不等

4、式.(2)证明某些等式.(3)方程根的进一步讨论.(1)利用导数证明不等式利用导数证明不等式是常考的题型.主要的方法有:10利用导数定义证明.20利用微分中值定理;30利用函数的单调性;40利用极值(或最值);50利用泰勒公式.60利用函数的凹凸性证明20利用微分中值定理若函数f(x)有一二阶导数,而要证的不等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或不等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若不等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.例2证明不等式证明：把lna乘

5、以各式,得到区间[1/(n+1),1/n]上的增量,可以对f(x)使用拉格朗日中值定理,有f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)因为是函数f(x)=ax在例330利用函数的单调性当要证的不等式两端是给定的两个表达式,或不等式一端或两端含f(x),且知道f’(x)>0(或f”(x)>0)则常需要用单调性证.解：:为证不等式,只要证例4当x>0时,证明不等式其辅助函数为所以当x>0时,f(3)(x)严格单调增加,即f”(x)>f”(0)(x>0)从而f’(x)严格单调增加,于是当x>0时f’(x)>f’(0)=0例5设f”(x)<0,f

6、(0)=0,证明当0

7、f”(x)

8、≤M,又f(a)=f(b),证明50利用泰勒公式若已知函数f(x)在某区间上有二阶以上的导数,在证不等式时常用泰勒公式.60利用函数的凹凸性证明函数的凹凸性主要用于证明二元不等式例8证明当x>0,y>0时,xlnx+ylny>

9、(x+y)ln(x+y)/2(2)证明某些等式利用导数证明等式常用10罗尔定理(要证明某个函数或一个式子等于0或其导数等于0时).20拉格朗日定理.30柯西定理.关于用2或3的情况是若函数f(x)有一二阶导数,而要证的等式的两端含有f(x)的函数值,特别是f(x)的表达式不知道时,或等式中含有f(x)的导数时,常用拉格朗日中值定理证.若等式两端或一端是两类不同函数的商或可写成两类函数的商时,常用柯西中值定理证.关键是建立辅助函数:通常用移项(把等式一端的项全移到另一端)或把等式变形,或变形后再移项或变形后用逆推的方法.解:辅助函数为例

10、9设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0.证明在(a,b)内至少存在一点ξ,使f’(ξ)+λf(ξ)=0,这里的λ是任意实数.根据连续函数的性质可知,φ(x)在[a,b]上连续,在(a