专题2.4指数与指数函数(讲)-高考数学一轮复习讲练测(解析版).doc

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1、〖考纲解读〗1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3.理解指数幂的概念,理解指数函数的单调性,会解决与指数函数性质有关的问题.〖知识梳理〗1.根式(1)根式的概念如果一个数的n次方等于a(n>1且,n∈N*),那么这个数叫做a的n次方根.也就是,若xn=a,则x叫做a的n次方根,其中n>1且n∈N*.式子叫做根式,这里n叫做根指数,a叫做被开方数.(2)根式的性质[来源:学科网ZXXK]①当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一

2、个负数,这时,a的n次方根用符号表示.②当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的n次方根用符号表示,负的n次方根用符号-表示.正负两个n次方根可以合写为±(a>0).③n=a.④当n为奇数时,=a;当n为偶数时,=

3、a

4、=.⑤负数没有偶次方根.2.有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂:an=a·a·…·(n∈N*);②零指数幂:a0=1(a≠0);③负整数指数幂:a-p=(a≠0,p∈N*);④正分数指数幂:a=(a>0,m、n∈N*,且n>1);⑤负分数指数幂:a-

5、==(a>0,m、n∈N*且n>1).【注】若a>0,p是一个无理数,则ap表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用3.指数函数的图象与性质y=axa>10<a<1图象定义域R值域(0,+∞)性质过定点(0,1)x<0时,0<y<1x<0时,y>1.在(-∞,+∞)上是减函数当x>0时,0<y<1;当x>0时,y>1;在(-∞,+∞)上是增函数[来源:Z+xx+k.Com]【注1】当底数没有确定又涉及函数的单调性问题时,要对指数函数和对数函数的底或进行讨论。【注2】第一象限中

6、,指数函数底数与图象的关系【分析考向】考向一:指数式与根式运算问题指数幂的化简与求值的原则及结果要求1.化简原则(1)化负指数为正指数;(2)化根式为分数指数幂;(3)化小数为分数;(4)注意运算的先后顺序.2.结果要求(1)若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;(2)若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂表示;(3)结果不能同时含有根号和分数指数幂,也不能既有分母又有负指数幂.【典型例题】化简下列各式(其中各字母均为正数).[来源:Zxxk.Com](1);(2)a·b-2·(-3a-b-

7、1)÷(4a·b-3)..[来源:Z

8、xx

9、k.Com]【迁移训练1】已知a,b是方程9x2-82x+9=0的两根,且a

10、xx

11、k.Com]【典型例题】函数y=的图象大致为(  ).【迁移训练1】(1)函

12、数y=(00且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则a、b的取值范围是__________.(3)方程2x=2-x的解的个数是________.【迁移训练2】已知函数y=()

13、x+1

14、.(1)作出函数的图象(简图);(2)由图象指出其单调区间;(3)由图象指出当x取什么值时有最值,并求出最值.考向三:指数函数的性质及其应用(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的,因此解题时通常对底数a按:0<a<1和

15、a>1进行分类讨论.(2)换元时注意换元后“新元”的范围.【典型例题】函数的值域为_________.【迁移训练1】已知函数,其中常数满足;(1)若,判断函数的单调性;(2)若ab<0,求f(x+1)>f(x)时的x的取值范围。考向四:指数函数的综合性问题求解与指数函数有关的复合函数问题,首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质,其次要明确复合函数的构成,涉及值域、单调区间、最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断,最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决.【典型例题】若函数且在上

16、的最大值为14,求a的值.【典型例题】求函数的定义域、值域和单调区间.【典型例题】已知定义在R上的函数f(x)=2x-.(1)若f(x)=,求x的值;(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.【迁移训练1】若方程有正根,求实数的取值范围。〖考题回放〗2014高考文科题组1.(2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学(四川卷))已知,,,,则下列等式一定成立的是()A、B、C、D、2.(2014

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