中考数学一轮复习 第16-17讲 三角形及其性质导学案.doc

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1、第16、17讲三角形及其性质学习目标：（1）掌握三角形、三角形的全等、相似及解直角三角形的有关概念。（2）利用三角形的相似、全等及解直角三角形的知识进行计算、解答有关综合题。（3）培养学生的转化、数形结合、及分类讨论的数学思想的能力学习重点、难点：三角形、三角形的相似及全等、解直角三角形的基础知识、基本技能是本节的重点。难点是综合应用这些知识解决问题的能力。学习过程：知识点1三角形的边、角关系①三角形任何两边之和大于第三边；②三角形任何两边之差小于第三边；③三角形三个内角的和等于180°；④三角形三个外角的和等于360°；⑤三

2、角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；⑥三角形一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。知识点2三角形的主要线段和外心、内心①三角形的角平分线、中线、高；②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的外心，三角形的外心到各顶点的距离相等；③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫做三角形的内心，三角形的内心到三边的距离相等；④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半。知识点3等腰三角形等腰三角形的识别：①有两边相等的三角形是等腰三角形；②有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对

3、等边）；③三边相等的三角形是等边三角形；④三个角都相等的三角形是等边三角形；⑤有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。等腰三角形的性质：①等边对等角；②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合；③等腰三角形是轴对称图形，底边的中垂线是它的对称轴；④等边三角形的三个内角都等于60°。知识点4直角三角形直角三角形的识别：①有一个角等于90°的三角形是直角三角形；②有两个角互余的三角形是直角三角形；③勾股定理的逆定理：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。直角三角形的性质：①直角三

4、角形的两个锐角互余；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；③勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。知识点5全等三角形定义、判定、性质知识点6相似三角形知识点7锐角三角函数与解直角三角形例题精讲例1.（1）已知：等腰三角形的一边长为12，另一边长为5，求第三边长。（2）已知：等腰三角形中一内角为80°，求这个三角形的另外两个内角的度数。分析：利用等腰三角形两腰相等、两底角相等即可求得。解：（1）分两种情况：①若腰长为12，底边长为5，则第三边长为12。②若腰长为5，底边长为12，则第三边长为5。但此时两边之和小于

5、第三边，故不合题意。因此第三边长为12。（2）分两种情况：①若顶角为80°，则另两个内角均为底角分别是50°、50°。②若底角为80°，则另两个内角分别是80°、20°。因此这个三角形的另外两个内角分别是50°、50°或80°、20°。说明：此题运用“分类讨论”的数学思想，本题着重考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系。例2.已知：如图，⊿ABC和⊿ECD都是等腰三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，D为AB边上的一点，求证：（1）⊿ACE≌⊿BCD，（2）AD＋AE＝DE。分析：要证⊿ACE≌⊿BCD，已具备AC＝BC，CE＝

6、CD两个条件，还需AE＝BD或∠ACE＝∠BCD，而∠ACE＝∠BCD显然能证;要证AD＋AE＝DE，需条件∠DAE＝90°，因为∠BAC＝45°，所以只需证∠CAE＝∠B＝45°，由⊿ACE≌⊿BCD能得证。证明：（1）∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCE－∠ACD＝∠ACB－∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，∵AC＝BC，CE＝CD，∴⊿ACE≌⊿BCD。（2）∵⊿ACE≌⊿BCD，∴∠CAE＝∠B＝45°，∵∠BAC＝∠B＝45°，∴∠DAE＝90°，∴AD＋AE＝DE。例3.已知：点P是等边⊿ABC内的一点，∠BPC

7、＝150°，PB＝2，PC＝3，求PA的长。分析：将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°至⊿BCD，即可证得⊿BPD为等边三角形，⊿PCD为直角三角形。解：∵BC＝BA，∴将⊿BAP绕点B顺时针方向旋转60°，使BA与BC重合，得⊿BCD，连结PD。∴BD＝BP＝2，PA＝DC。∴⊿BPD是等边三角形。∴∠BPD＝60°。∴∠DPC＝∠BPC－∠BPD＝150°－60°＝90°。∴DC＝．∴PA＝DC＝。【变式】若已知点P是等边⊿ABC内的一点，PA＝，PB＝2，PC＝3。能求出∠BPC的度数吗？请试一试。例4.如图，P是等边三

8、角形ABC内的一点，连结PA、PB、PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ．（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论．（2）若PA：PB：PC＝3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．解：（1）把△ABP绕点B顺时针旋转60