高中同步数学教案第11章 坐标平面上的直线.doc

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1、第十一章：坐标平面上的直线11、1直线的方程1、直线的点方向式方程已知直线经过某个已知点，且与已知的非零向量平行，那么这样的直线也是唯一确定的（如图）。那么这条直线如何表示呢？解析几何里是用直线上任何一点的坐标满足的关系式来表示这条直线。O设点是过点P与向量平行的直线上的任意一点（包括，则，，，当时，即得①反之，若是方程①的任意一组解，则有，则向量与向量平行，从而点在直线上。由此可见：直线所有点的坐标都满足方程①，而以方程①的所有解为坐标的点都在直线上。这样就建立了直线上的点与方程①的解之间的一一对应关系。把方程①称为直线的方程；直线称为方程的图

2、形。把与直线平行的非零向量称为直线的方向向量。方程称为直线的点方向式方程。若，则，那么直线方程为；若，则，那么直线方程为。OO例1：已知△的顶点。求：（1）过点A与BC平行的直线的点方向式方程；（2）经过B、C两点的直线的点方向式方程；（3）AB边上的中线所在直线的点方向式方程。ABCO解：（1）是直线的一个方向向量，所以直线的方程为。（2）也是直线BC的一个方向向量，所以直线BC的点方向式方程为：　　　　，（或）（3）AB中点坐标是，是它的一个方向向量，，所以AB边上中线所在直线的方程为：。注意：（1）一般地，经过两点，PQ与坐标轴不平行的直线

3、的点方向式方程为。此方程也称为直线的两点式方程。（2）若直线经过两点，则直线的方程为，整理得：。（此方程称直线的截距式）。2、直线的点法向式方程已知直线经过点，且与非零向量垂直，求直线的方程。O如图：设是直线上的任意一点，由题意知：，由向量垂直的充要条件知，。又，所以　　②反之，如果是方程②的解，即，那么以为起点、为终点的向量与向量的数量积为零。可知，于是点在直线上。向量叫做直线的法向量，方程②称为直线的点法向式方程。例2：已知点和点，求直线AB的垂直平分线的点法式方程。解：因为是AB的垂直平分线，所以经过AB的中点，且垂直于向量。又AB中点，所

4、以直线的法向式方程为。例3：已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为，求：（1）BC边所在直线的方程；（2）BC边上的高AD所在直线的方程。ABCDO解：（1）BC边所在直线的一个方向向量，所以BC边所在直线的点方向式方程为。（2）高AD所在直线的一个法向量为，且经过点，所以高AD所在直线的点法向式方程为：。例4：已知直线经过点，且与直线垂直，求直线的方程。解：因为是直线的一个法向量。则是所求直线的一个方向向量，又所求直线过点，所以所求直线的点方向式方程为。例5：已知△ABC中，，点B、C的坐标分别为和。向量，且与AC边平行，求三角形三边所在直线的方

5、程。解：因为B、C的坐标分别为和，则，所以BC边所在直线的点方向式方程为：；又AC与向量平行，所以AC边所在直线的点方向式方程为：；因为，所以向量是直线AB的法向量，则AB的点法向式方程为：。例6：已知直线经过点与轴、轴的正半轴分别交于点A、B，试求满足下列条件的直线的方程。（1）P是线段AB的中点；　　　（2）（3）最小；　　　（4）三角形OAB的面积最小；(5)最小。ABO解：（1）设，因为是AB的中点，所以，即，所以，则的点方向方程为。（2）由得，即，所以，，所以此时直线方程为。（3）设，则所求直线的一个方向向量，则其方程为，即。又直线过点

6、，所以，则，，当且时等号成立，此时。所求直线的方程为。（4），当且仅当时等号成立，此时，所求直线的方程为。11、2直线的倾斜角与斜率OM1、直线倾斜角：设直线与轴相交于点M，将轴绕点M按逆时针方向旋转至直线重合时所成的最小正角叫做直线的倾斜角。当直线与轴平行或重合时，规定其倾斜角。直线的倾斜角也可以这样理解：直线向上方向与轴正方向的夹角。直线倾斜角的取值范围是。2、直线的斜率：当直线的倾斜角时，把叫做直线的斜率，用表示。即直线的斜率；当时，直线的斜率不存在。3、直线倾斜角与斜率的变化关系：4、倾斜角、斜率与方向向量的关系：直线的倾斜角、斜率与方向

7、向量都是对直线倾斜程度（即直线的方向）的刻画，因此它们之间可以互相转化。O直线的方向向量为，倾斜角为，斜率为。（1）若方向向量为，那么当时，；当时，不存在，此时。（2）若直线的倾斜角为，那么当时，，方向向量为；当时，其斜率不存在，方向向量可以为。（3）若直线的斜率为时，那么其方向向量可以为；当时，，当时，。5、斜率公式：若直线经过点，则方向向量。当时，直线与轴垂直，此时直线的倾斜角为，斜率不存在；当时，直线的斜率。6、直线的点斜式方程：已知直线的斜率为，且通过点，求直线的方程。解：因为直线的方向向量为，又直线过点，当时，此直线的点方向式方程为，整

8、理得：　　（1）当时，直线的方程为，满足（1）式。直线的方程为。方程称为直线的点斜式方程。7、直线的斜截式方程：已知直线的斜率为，且在轴