高中同步数学教案第8章 平面向量.doc

《高中同步数学教案第8章 平面向量.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第八章：平面向量一、向量的有关概念1、向量的定义：既有大小，又有方向的量称为向量。而那些只有大小，没有方向的量称为标量。（向量、标量举例）2、向量的表示：　　向量可以用有向线段来表示。如图向量的方向是从A到B。AB记作：向量（或向量）。3、向量的模（长度）：　有向线段的长度，即向量（或向量）的大小称为向量的模，记作为（或）。4、相等向量与零向量：　如果两个向量和的模相等且方向相同，那么这两个向量称为相等的向量。记作。模为零的向量叫做零向量，记作。它的方向是不定的（也可以说其方向是任意的）。　注意：零向量都是相等的。5、平行向量：　如果两个向量和的方向相同或相

2、反，那么这两个向量称为平行向量（也称为共线向量），记作；规定：零向量与任意向量平行，即对于任意的向量，。如果两个向量和的方向相反且模相等，那么我们把向量叫做向量的负向量（也叫相反向量，逆向量），记作。可以看出，对于任意的两点A、B，有。6、单位向量：　模为的向量称为单位向量。例1：在平面几何中对于直线，若且，则。问：对于三个向量也是否有相应结论？说明理由。解：命题“若且，则”是假命题。当时，结论不一定成立。例2：在矩形ABCD中，AB＝2BC，M、N分别是AB、CD的中点，在以A、B、C、D、M、N为起点和终点的向量中，与相等的非零向量有多少个？找出的负向量

3、。ABCDMN二、向量的加法与减法1、向量加法的平行四边形法则与三角形法则：一般地，对于两个不平行的向量，如果以点O为起点，作，那么以为邻边的平行四边形OACB的对角线OC所表示的向量叫做向量与的和，记作。利用平行四边形作向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。OBAC根据向量相等的意义，在平行四边形OACB中，，则有。即把向量进行平移，使的起点O移到的终点A，连接的起点O与平移后的终点C所得到的向量即是两向量的和向量。这种作向量和的方法叫做向量加法的三角形法则。OAC2、向量加法的运算律（1）交换律：；（2）结合律：。结合律的作图验证：ABCD如图：作，

4、由向量加法的三角形法则：，。，。所以。　　若干个起点、终点依次相接的向量的和是以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量。3、向量减法的作图方法：已知向量，在平面内任取一点O，作，，因为，所以。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。OAB4、向量加减法性质：（1）（2）（3）例1：一渡船从河南岸以的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的速度为向东。求船的实际航行速度与方向(方向精确到)。ABCD解：如图：设表示船和速度，表示水的速度，以AB、AD为邻边作平行四边形，则对角线表示船的实际航行的速度。在直角三角形中，

5、，，所以。又，算得：。答：船的实际航行速度大约为，方向大约为东偏北。例2：某人用速度向正东方向行驶，感觉到风从正北方向吹来，若把速度提高到，则感觉到风从正东北方向吹来。试确定风速与风向。解：风向为西北风，风速为。三、实数与向量的积1、实数与向量乘积的定义：一般地，实数与与非零向量的乘积是一个向量，记作。的模与方向规定如下：（1）；（2）当时，与的方向相同；当时，与的方向相反；当时，是零向量。规定：任意实数与零向量的乘积是零向量。2、向量平行的充要条件：根据实数与向量乘积的意义，可知：与是相互平行的向量。反之，如果两个非零向量与平行，那么一定存在惟一实数，使得

6、。所以,两个非零向量与平行的充要条件是:存在实数，使得。与向量共线的单位向量有两种情况：若与同向，则，若与反向，则。3、实数与向量乘积的运算律：设，则有：（1）；（2）；（3）。例1：O是平面上的任意一点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足：，则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）A、外心；　　　B、内心；　　　C、重心；　　　D、垂心。解：选B。例2：如图：正六边形ABCDEF中，设。试用表示。ABCDEF解：，所以；；；。例3：设是两个不共线的向量，已知。若A、B、D三点共线，求的值。解：因为A、B、D三点共线，则必存在实数，使得。，则有：，那么

7、，即。例4：在△ABC中，，设，且。试用表示与的单位向量。ABC解：因为，，由余弦定理得，所以。，所以。例5：已知O是四边形ABCD所在平面内一点，且向量满足等式：。问四边形ABCD有什么特征？证明你的结论。解：四边形ABCD是平行四边形。证明：因为，则，即，那么且。所以四边形ABCD是平行四边形。例6：如图：D、E分别是△ABC的边AB、AC上的中点，延长CD到P，使D为CP中点，延长BE到Q，使E是BQ中点。求证：（1）A、P、Q三点共线；　　　（2）且。ABCDEPQ证明：（1）因为D是AB中点，D是CP中点，则有，，。所以；同理可证，所以，则A、P、

8、Q三点共线。（2），所以且。四、平面向量分解定理：设