初中数学8年级教案：第15讲 四边形中的证明与计算.docx

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1、辅导教案学员姓名：学科教师：年级：辅导科目：授课日期××年××月××日时间A/B/C/D/E/F段主题四边形中的证明与计算教学内容1．掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形性质定理和判定定理；2．掌握等腰梯形的性质与判定以及三角形、梯形中位线定理．（此环节设计时间在10-15分钟）多边形四边形等腰梯形直角梯形平行四边形梯形梯形中位线矩形正方形菱形1．菱形的两条对角线之比是2：3，面积是27，则两条对角线的长分别是和．2．如图，已知梯形ABCD的中位线为EF，且△AEF的面积为6cm2，则梯形ABCD的面积为（）A、12cm2B、18cm2C、24cm2D、30cm23

2、．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）A、当AB＝BC时，它是菱形；B、当AC⊥BD时，它是菱形；C、当AC＝BD时，它是正方形；D、当∠ABC＝900时，它是矩形.4．下列说法：①一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形或等腰梯形。②一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形。③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。④顺次联结等腰梯形各边中点所得到的四边形是菱形。其中正确的是（）A、①②B、①②③C、②③④D、①②③④参考答案：1．6，9；2．C；3．C；4．D．（此环节设计时间在50-60分钟）例题1：如图在矩形ABCD中，延长

3、CB到E，使得CE＝CA，F是AE中点，联结BF、DF．（1）求证：BF⊥DF；（2）如果AB＝3，BC＝4，求四边形BFDC的面积．参考答案：联结BD交AC于O，联结FO，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AC＝BD＝2AO＝2CO，AO＝CO，∵F为AE中点，∴FO＝CE，∵AC＝CE，∴FO＝BD，即FO＝OB＝OD，∴∠OFD＝∠ODF，∠OFB＝∠OBF，∵∠OFD＋∠ODF＋∠OFB＋∠OBF＝180°；∴∠OFD＋∠OFB＝90°，即∠DFB＝90°，∴BF⊥DF；（2）解：∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，由勾股定理得：BD＝AC＝

4、5＝CE，∴BE＝5—4＝1，∴在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝，∵F为AE中点，∴BF＝AE＝，∴在Rt△DFB中，．∴例题2：已知：如图，在□ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，CE、AF与对角线BD分别相交于点G、H．如果AD⊥BD，求证：四边形EGFH是菱形．参考答案：联结EF，交BD于点O．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//CD，AB＝CD．∵点E、F分别是AB、CD的中点，∴AE＝CF．∴四边形AECF为平行四边形．∴∠AFC＝∠AEC．∴∠DFH＝∠GEB∵AB//CD，∴∠FDH＝∠EBG又∵DF＝BE；∴△DFH≌△BEG，∴

5、DH＝BG∵AB//CD，AB＝CD，点E、F分别是AB、CD的中点，∴△DFO≌△BEO．∴FO＝EO，DO＝BO．∵DH＝GB，∴OH＝OG．∴四边形EGFH是平行四边形．∵点E、O分别是AB、BD的中点，∴OE//AD．∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．∴□HEGF是菱形．例题3：如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，点E为线段BC延长线上的一点，且CE＝BC．过点E作EF∥CA，交CD于点F，联结OF．（1）求证：OF∥BC；（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判断四边形ABCD的形状，并给出证明．参考答案：（1）将线段BC的中点记为G，联结OG，∵四边

6、形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD．∴OG∥CD；∴∠OGC＝∠FCE．∵EF∥CA，∴∠OCG＝∠FEC．∵CG＝BC，CE＝BC，∴CG＝CE．在△OGC和△FCE中，∵∠OGC＝∠FCE，CG＝CE，∠OCG＝∠FEC，∴△OGC≌△FCE（A.S.A）；∴OG＝FC．又∵OG∥CF，∴四边形OGCF是平行四边形．∴OF∥GC（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四边形ABCD是矩形．∵OF∥CE，EF∥CO，∴四边形OCEF是平行四边形．∴EF＝CO．又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO＝EF．∴OB＝OC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，B

7、D＝2OB．∴AC＝BD．∴平行四边形ABCD是矩形．例题4：如图，在正方形ABCD中，点P是射线BC上的任意一点（点B与点C除外），联结DP，分别过点C、A作直线DP的垂线，垂足为点E、F．（1）当点P在BC的延长线上时，那么线段AF、CE、EF之间有怎样的数量关系？请证明你的结论；（2）当点P在边BC上时，正方形的边长为2．设CE＝x，AF＝y．求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）在（2）的条件下，当x＝1时，求EF的长．参考答案：（1）AF＋CE＝EF．在正方形ABCD中，CD＝AD，∠ADC＝90°，即得∠ADF＋∠EDC＝90°．∵AF⊥EF

8、，CE⊥E