光电信息物理基础第二章习题答案.pdf

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1、h3h3h3h2.1已知某一区域中给定瞬间的电流密度J=C(xe+ye+ze),其中C是xyz大于零的常量,求:在此瞬间,点(1,-1,2)处电荷密度的时间变化率;h∂ρ解:由电流连续性方程∇⋅J+=0P26(2.2-8)∂t所以电荷密度的时间变化率为:∂J333∂ρh∂Jxy∂Jz∂(Cx)∂(Cy)∂(Cz)222=−∇⋅J=−−−=−−−=−(3x+3y+3z)∂t∂x∂y∂z∂x∂y∂z在点(1,-1,2)处的电荷密度的时间变化率为-18C。2.2设在某静电场域中任意点的电场强度均平行于x轴。hh证明:(1)E与坐标y,z无关;(2)若此区域中没有电荷,则E与坐标x无关。证明

2、:(1)因为任意点的电场强度均平行于x轴,这说明电场强度的振动方向沿x方hhh向,电场强度E的表达式可写为E=eE(x,y,z)xx又因为是静电场,为有源无旋场,所以该电场强度的旋度为零。即ddddddeeeeeexyzxyzh∂∂∂∂∂∂d∂Exd∂Ex∇×E===e−e=0yz∂x∂y∂z∂x∂y∂z∂z∂yEEEE00xyzx∂E∂Ehxx所以=0并且=0,这就说明分量Ex与坐标y,z无关,即电场强度E与∂z∂y坐标y,z无关(2)因为此区域没有电荷,这说明此区域没有电场的源,ρ=0,电场的散度也h∂E∂E∂E∂Ehxyzx为零,即∇⋅E=++==0,所以E与坐标x无关。∂x∂

3、y∂z∂x2.5从微分形式麦克斯韦方程组导出电流连续性方程解:微分形式的麦克斯韦方程组d⎧dd∂D⎪∇×H=J+∂t⎪dd⎪d∂Bdd∂D⎨∇×E=−,其中和电流有关的是第一个全电流方程∇×H=J+∂t∂t⎪d⎪∇⋅B=0⎪d⎩∇⋅D=ρdd⎛d∂D⎞因为矢量的旋度的散度恒为零,即∇⋅(∇×H)≡0,所以∇⋅⎜J+⎟=0⎜⎝∂t⎟⎠ddd∂Dd∂(∇⋅D)∂即∇⋅J+∇⋅=∇⋅J+(因为∇是对空间坐标求导,是对时间求导,∂t∂t∂t二者相互独立,可以互换)dd∂(∇⋅D)d∂ρ也就是说∇⋅J+=∇⋅J+=0,即电流连续性方程。得证。∂t∂t2.6试证明通过电容器的位移电流等于导线中的

4、传导电流dJd证明:假设平行电容器之间的介质的介电常数为ε,电容器的面积为S,电容器间距为d。根据图示可知,位移电流Id与传导电流If方向相同hhh∂D∂EU根据定义位移电流密度为:J==ε;因为电场强度E=,所以d∂t∂tdε∂UεS∂U∂U∂(CU)∂QJ=。位移电流I=JS==C===Idddfd∂td∂t∂t∂t∂tεSQ其中电容器的电容C==dUhhhh2.7线性各向均匀介质中某点的极化强度P=18e−30e+5e,D=20.5,求xyzzhh这点的E和DhhhhD1h解:极化强度P=εχE=ε(ε−1)E=ε(ε−1)=(1−)D00r0rεεε0rr⎛1⎞1114.1所

5、以P=⎜1−⎟D,ε====z⎜⎟zrP513.1⎝εr⎠z1−1−1−D20.54.1z所以电位移矢量⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟Dh=⎜1⎟Ph=⎛⎜εr⎞⎟Ph=⎛⎜1+1⎞⎟Ph=⎜1+1⎟Ph=4.1Ph=73.8eh−123eh+20.5eh⎜1⎟⎜ε−1⎟⎜ε−1⎟4.1xyz⎜1−⎟⎝r⎠⎝r⎠⎜⎜−1⎟⎟ε⎝3.1⎠⎝r⎠hhDhhh12电场强度E==()6.3e−10.5e+1.75e×10xyzεε0r2.9有一个内、外半径分别为a和b,介质常数为ε的介质球壳,其中有密度为ρ的均匀电荷,求任一点的电位移矢量及球壳内的极化电荷密度。解:由球对称性可知,电位移矢量的方向沿着球的

6、半径方向,大小随着半径rhh的变化而变化。根据积分形式的麦克斯韦定理D⋅dS=Q=ρdV∫Sf∫v分段考虑:(1)若0b,由于电荷均匀分布,则Q=ρ()b−a,D*4πr=Q,所以34π()33ρb−a()33Q3ρb−aD===2224πr4πr3rh(4)球壳内的极化电荷密度满足ρ=−∇⋅P(P242.1-23)phh根据极化强度P和电位移矢量D之间的关系hhhhh即P=εχE

7、=ε(ε−1)E(P252.1-31);D=εεE(P252.1-32)00r0rhhhD⎛1⎞hP=ε(ε−1)E=ε(ε−1)=⎜1−⎟D0r0r⎜⎟εεε0r⎝r⎠所以球壳内的极化电荷密度为h⎡⎛1⎞h⎤⎛1⎞h⎛1⎞⎛ε0⎞ρp=−∇⋅P=−∇⋅⎢⎜⎜1−⎟⎟D⎥=⎜⎜−1⎟⎟*∇⋅D=⎜⎜−1⎟⎟*ρ=⎜−1⎟*ρ⎣⎝εr⎠⎦⎝εr⎠⎝εr⎠⎝ε⎠

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