八种求数列通项的方法_已知递推公式_求通项公式.doc

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1、求数列通项公式方法归纳一、公式法例1已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。二、累加法例2已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以数列的通项公式为。例3、在数列{}中，,，求通项公式.解：原递推式可化为：则，……，逐项相加得：.故.例4已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以例5、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则例6．在数列中，且，求通项.小练：已知满足，求的通项公式。已知的首项，（）

2、求通项公式。已知中，，，求。三、累乘法类型型例7已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以，则，故所以数列的通项公式为例8已知数列满足，求的通项公式。解：因为①所以②用②式－①式得则故所以③由，，则，又知，则，代入③得。所以，的通项公式为例9．在数列中，，，求通项.解：由条件等式得，，得.练习：1、已知：，（）求数列的通项。2、已知中，且求数列通项公式。四、待定系数法型例10已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得⑤由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列

3、，则，故。例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑥将代入⑥式，得整理得。令，则，代入⑥式得⑦由及⑦式，得，则，故数列是以为首项，以3为公比的等比数列，因此，则。例12已知数列满足，求数列的通项公式。解：设⑧将代入⑧式，得，则等式两边消去，得，解方程组，则，代入⑧式，得⑨由及⑨式，得则，故数列为以为首项，以2为公比的等比数列，因此，则。例13．数列满足，求.解：设，即对照原递推式，便有故由得，即，得新数列是以为首项，以2为公比的等比数列。（n=1,2,3…），，即通项练习：1、已知满足，求通项公式。2、已知中，，（）求。分析

4、：构造辅助数列，，则[同类变式]1、已知数列满足，且，求通项分析：（待定系数），构造数列使其为等比数列，即，解得求得2、已知：，时，，求的通项公式。解：设∴解得：∴∴是以3为首项，为公比的等比数列∴∴3、已知数列满足，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故因此，则例7已知数列的前项和满足（1）写出数列的前3项；（2）求数列的通项公式.解：（1）由，得.由,得,由,得(2)当时,有,即①令,则,与①比较得,是以为首项,以2为公比的等比数列.,故引申题目：1、已知中，，（）求2、在数列{}中，求通项公式。解：原递推式可化为：①比

5、较系数得=-4，①式即是：.则数列是一个等比数列，其首项，公比是2.∴即.3、已知数列满足，，求数列的通项公式。解：两边除以，得，则，故数列是以为首，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。4、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式5、若数列的递推公式为，则求这个数列的通项公式6、已知数列满足，求数列的通项公式。解：设④将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得，则x=－1，代入④式，得⑤由≠0及⑤式，得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故类型5、取倒数例8、已知数列{}中，其

6、中，且当n≥2时，，求通项公式。解：将两边取倒数得：，这说明是一个等差数列，首项是，公差为2，所以，即.例9、数列中，且，，求数列的通项公式.[提示]例10、，求解：即则例11、数列中，，，求的通项。解：∴设∴∴∴……     ∴∴练习：1、在数列中，求．类型6、取对数法例12若数列{}中，=3且（n是正整数），则它的通项公式是=▁▁▁解由题意知＞0，将两边取对数得，即，所以数列是以=为首项，公比为2的等比设∴∴∴……     ∴∴练习：1、在数列中，求．五、对数变换法例10已知数列满足，，求数列的通项公式。解：因为，所以。在式

7、两边取常用对数得⑩设将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则，故代入式，得由及式，得，则，所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此则。六、迭代法例11已知数列满足，求数列的通项公式。解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。评注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式两边取常用对数得，即，再由累乘法可推知，从而。七、数学归纳法例12已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。八、换元法例13已知数列满足，求数列的通项公式。解：令，则故，代入得即因为，故则，

8、即，可化为，所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得。