【江苏高考】2020版数学理科考前三个月抢分必做 压轴大题突破练 一 含解析.docx

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1、压轴大题突破练压轴大题突破练(一)　直线与圆锥曲线(1)1．在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B在直线l：x＝－1上运动，过点B与l垂直的直线和线段AB的垂直平分线相交于点M.(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过(1)中轨迹E上的点P(1,2)作两条直线分别与轨迹E相交于C(x1，y1)，D(x2，y2)两点．试探究：当直线PC，PD的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解　(1)依题意，得MA＝MB.∴动点M的轨迹E是以A(1,0)为焦

2、点，直线l：x＝－1为准线的抛物线，∴动点M的轨迹E的方程为y2＝4x.(2)∵P(1,2)，C(x1，y1)，D(x2，y2)在抛物线y2＝4x上，∴由①－②得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，∴直线CD的斜率为kCD＝＝.③设直线PC的斜率为k，则PD的斜率为－k，则直线PC方程为y－2＝k(x－1)，由得ky2－4y－4k＋8＝0.由2＋y1＝，求得y1＝－2，同理可求得y2＝－－2.∴kCD＝＝＝－1，∴直线CD的斜率为定值－1.2．(2016·课标全国丙)已知抛物线C：y2＝

3、2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．由题意知F，设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.(1)证明　由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1＝＝＝＝－＝－b＝＝k2.所以AR∥FQ.(2)解　设

4、过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，则S△ABF＝

5、b－a

6、·FD＝

7、b－a

8、，S△PQF＝.由题意可得

9、b－a

10、＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.所以所求轨迹方程为y2＝x－1.3．椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.设动直线l：y＝kx＋m

11、与椭圆E相切于点P且交直线x＝2于点N，△PF1F2的周长为2(＋1)．(1)求椭圆E的方程；(2)求两焦点F1、F2到切线l的距离之积；(3)求证：以PN为直径的圆恒过点F2.(1)解　设F1(－c,0)，F2(c,0)，则解得a＝，c＝1.∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)解　由⇒(1＋2k2)x2＋4kmx＋2(m2－1)＝0.设直线l与椭圆E相切于点P(x0，y0)，则Δ＝0，化简2k2＋1＝m2，焦点F1，F2到直线l的距离d1，d2分别为d1＝，d2＝，则d1·d2

12、＝＝＝1.(3)证明　∵x0＝－＝－，∴y0＝kx0＋m＝－＋m＝＝，∴P(－，)．又联立y＝kx＋m与x＝2，得到N(2,2k＋m)，＝(1＋，－)，＝(1,2k＋m)．∴·＝(1＋，－)·(1,2k＋m)＝1＋－(2k＋m)＝1＋－－1＝0.∴⊥，∴以PN为直径的圆恒过点F2.4．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为，过点M(2,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点．(1)求椭圆C的方程；(2)求·的取值范围；(3)若B点关于x轴的对称点是N，证明：直线AN恒过一定

13、点．(1)解　由题意知b＝1，e＝＝，得a2＝2c2＝2a2－2b2，故a2＝2.故所求椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)解　设l：y＝k(x－2)，与椭圆C的方程联立，消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0.由Δ>0得0≤k2<.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝，∴·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋k2(x1－2)(x2－2)＝(1＋k2)x1x2－2k2(x1＋x2)＋4k2＝＝5－.∵0≤k2<，∴<≤7，故所求范围是[－2，)．(3)证明　由对称性可

14、知N(x2，－y2)，定点在x轴上，直线AN：y－y1＝(x－x1)．令y＝0得：x＝x1－＝＝＝＝＝1，故直线AN恒过定点(1,0)．