【北师大版】2020版同步优化探究文数练习 第八章 第八节　第二课时　最值、范围、证明问题含解析.doc

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1、课时作业A组——基础对点练1．已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．解析：(1)由题意，得从而因此，所求的椭圆C1的方程为＋x2＝1.(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′

2、x＝t＝2t.直线MN的方程为：y＝2tx－t2＋h.

3、将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3＝＝.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.由题意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1，或h≤－3.当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，则不等式②不成立，所以h≥1.当h＝

4、1时，代入方程③得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．所以，h的最小值为1.2．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－

5、2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而

6、PQ

7、＝

8、x1－x2

9、＝.又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d

10、PQ

11、＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.3.如图，在矩形ABCD中，

12、AB

13、＝4，

14、AD

15、＝2，O为AB的中点，P，Q分别是AD和CD上的点，且满足①＝，②直线AQ与BP的交点在椭圆

16、E：＋＝1(a>b>0)上．(1)求椭圆E的方程；(2)设R为椭圆E的右顶点，M为椭圆E第一象限部分上一点，作MN垂直于y轴，垂足为N，求梯形ORMN面积的最大值．解析：(1)设AQ与BP的交点为G(x，y)，P(－2，y1)，Q(x1,2)，由题可知，＝，＝，＝，从而有＝，整理得＋y2＝1，即为椭圆E的方程．(2)由(1)知R(2,0)，设M(x0，y0)，则y0＝，从而梯形ORMN的面积S＝(2＋x0)y0＝，令t＝2＋x0，则2

17、∈(2,3)时，u′>0，u＝4t3－t4单调递增，当t∈(3,4)时，u′<0，u＝4t3－t4单调递减，所以当t＝3时，u取得最大值，则S也取得最大值，最大值为.4．(2018·贵阳监测)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且椭圆C上的点到一个焦点的距离的最小值为－.(1)求椭圆C的方程；(2)已知过点T(0,2)的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB＝90°，求直线l的斜率k的取值范围．解析：(1)设椭圆的半焦距长为c，则由题设有：解得：a＝，c＝，∴b2＝1，故椭圆C的方程为

18、＋x2＝1.(2)由已知可得，以AB为直径的圆与x轴有公共点．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，将直线l：y＝kx＋2代入＋x2＝1，得(3＋k2)x2＋4kx＋1＝0，Δ＝12k2－12，∴x0＝＝，y0＝kx0＋2＝，

19、AB

20、＝＝，∴解得：k4≥13，即k≥或k≤－.B组——能力提升练1．(2018·武汉市模拟)已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，直线x＝4与x轴的交点为P，与抛物线的交点为Q，且

21、QF

22、＝

23、PQ

24、.(1)求抛物线的方程；(2)如图所示，过F的直线l与抛物

25、线相交于A，D两点，与圆x2＋(y－1)2＝1相交于B，C两点(A，B两点相邻)，过A，D两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点M，求△ABM与△CDM的面积之积的最小值．解析：(1)由已知得F(0，)，P(4,0)，Q(4，)，

26、QF

27、＝＋，

28、PQ

29、＝，因为

30、QF

31、＝

32、PQ

33、，所以＋＝·，解得p＝2或p＝－2(舍去)，所以抛物线的方程为x2