【北师大版】2020年高考数学一轮复习 第7章 立体几何 第6讲 空间向量及其运算.doc

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1、第6讲空间向量及其运算1.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a⊥(a-λb),则实数λ的值为(  )A.-2          B.-C.D.2解析:选D.由题意知a·(a-λb)=0,即a2-λa·b=0,所以14-7λ=0,解得λ=2.2.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是(  )A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直解析:选B.由题意得,=(-3,-3,3),=(1,1,-1),所以=-3,所以与共线,又与没有公共点.所以AB∥CD.3.已知a=(2,-1,3),b

2、=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若a、b、c三向量共面,则实数λ等于(  )A.B.9C.D.解析:选D.由题意知存在实数x,y使得c=xa+yb,即(7,5,λ)=x(2,-1,3)+y(-1,4,-2),由此得方程组解得x=,y=,所以λ=-=.4.在空间四边形ABCD中,·+·+·=(  )A.-1B.0C.1D.不确定解析:选B.如图,令=a,=b,=c,则·+·+·=a·(c-b)+b·(a-c)+c·(b-a)=a·c-a·b+b·a-b·c+c·b-c·a=0.5.如图所示,PD垂直于正方形ABCD所在平面,AB=2,E为PB的中点,cos〈,〉=,若以DA

3、,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则点E的坐标为(  )A.(1,1,1)B.C.D.(1,1,2)解析:选A.设P(0,0,z),依题意知A(2,0,0),B(2,2,0),则E,于是=(0,0,z),=,cos〈,〉===.解得z=±2,由题图知z=2,故E(1,1,1).6.(2016·唐山统考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点M在AC1上且=1,N为B1B的中点,则

4、

5、为(  )A.aB.aC.aD.a解析:选A.以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则A(a,0,0),C1(0,a,a),N.设M(x,y,z),因为点M在

6、AC1上且=,所以(x-a,y,z)=(-x,a-y,a-z),所以x=a,y=,z=.所以M,所以

7、

8、= =a.7.在空间直角坐标系中,点P(1,,),过点P作平面yOz的垂线PQ,点Q在平面yOz上,则垂足Q的坐标为________. 解析:由题意知点Q即为点P在平面yOz内的射影,所以垂足Q的坐标为(0,,).答案:(0,,)8.在空间直角坐标系中,以点A(4,1,9),B(10,-1,6),C(x,4,3)为顶点的△ABC是以BC为斜边的等腰直角三角形,则实数x的值为__________.解析:由题意知=(6,-2,-3),=(x-4,3,-6).又·=0,

9、

10、=

11、

12、,可得

13、x=2.答案:29.已知2a+b=(0,-5,10),c=(1,-2,-2),a·c=4,

14、b

15、=12,则以b,c为方向向量的两直线的夹角为________.解析:由题意得,(2a+b)·c=0+10-20=-10.即2a·c+b·c=-10,又因为a·c=4,所以b·c=-18,所以cos〈b,c〉===-,所以〈b,c〉=120°,所以两直线的夹角为60°.答案:60°10.已知空间四边形OABC,点M、N分别是OA、BC的中点,且=a,=b,=c,用a、b、c表示向量=________. 解析:如图所示,=(+)=[(-)+(-)]=(+-2)=(+-)=(b+c-a).答案

16、:(b+c-a)11.(2016·郑州模拟)已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),a∥b,b⊥c.求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解:(1)因为a∥b,所以==,解得x=2,y=-4,此时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1),又因为b⊥c,所以b·c=0,即-6+8-z=0,解得z=2,于是c=(3,-2,2).(2)a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),因此a+c与b+c所成角的余弦值为==-.故a+c与b+c所成角的余弦值为-.12.如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设=a,=b,=c

17、,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1);(2);(3)+.解:(1)因为P是C1D1的中点,所以=++=a++=a+c+=a+c+b.(2)因为N是BC的中点,所以=++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.(3)因为M是AA1的中点,所以=+=+=-a+(a+c+b)=a+b+c.又=+=+=+=c+a.所以+=+=a+b+c.1.有下列命题:①若p=xa+yb,则p与a,b共面;②若p与a,b共面,则p=xa+yb;

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