【北师大版】2020年高考数学理科一轮复习 课时分层训练74不等式的证明.doc

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1、课时分层训练(七十四)　不等式的证明1．设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥(a＋b)．[证明]　因为a2＋b2－(a＋b)＝(a2－a)＋(b2－b)＝a(－)＋b(－)＝(－)(a－b)＝.因为a≥0，b≥0，所以不论a≥b≥0，还是0≤a≤b，都有a－b与a－b同号，所以(a－b)(a－b)≥0，所以a2＋b2≥(a＋b)．2．设不等式

2、2x－1

3、<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.【导学号：79140400】[解]　(1)由

4、2x－1

5、<1得－1<2x－1

6、<1，解得0

7、00.故ab＋1>a＋b.3．(2017·石家庄模拟)已知函数f(x)＝

8、x

9、＋

10、x－1

11、.(1)若f(x)≥

12、m－1

13、恒成立，求实数m的最大值M；(2)在(1)成立的条件下，正实数a，b满足a2＋b2＝M，证明：a＋b≥2ab.[解]　(1)∵f(x)＝

14、x

15、＋

16、x－1

17、≥

18、x－(x－1)

19、＝1，当且仅当0≤x≤1时取等号，∴f(x)＝

20、x

21、＋

22、x－1

23、的最

24、小值为1.要使f(x)≥

25、m－1

26、恒成立，只需

27、m－1

28、≤1，∴0≤m≤2，则m的最大值M＝2.(2)证明：由(1)知，a2＋b2＝2，由a2＋b2≥2ab，知ab≤1.①又a＋b≥2，则(a＋b)≥2ab.由①知，≤1.故a＋b≥2ab.4．已知a，b，c∈R，且2a＋2b＋c＝8，求(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值．[解]　由柯西不等式得(4＋4＋1)×[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥[2(a－1)＋2(b＋2)＋c－3]2，∴9[(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2]≥(

29、2a＋2b＋c－1)2.∵2a＋2b＋c＝8，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2≥，当且仅当＝＝c－3时等号成立，∴(a－1)2＋(b＋2)2＋(c－3)2的最小值是.5．已知函数f(x)＝k－

30、x－3

31、，k∈R，且f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]．(1)求k的值；(2)若a，b，c是正实数，且＋＋＝1.求证：a＋2b＋3c≥9.[解]　(1)因为f(x)＝k－

32、x－3

33、，所以f(x＋3)≥0等价于

34、x

35、≤k，由

36、x

37、≤k有解，得k≥0，且解集为[－k，k]．因为f(x＋3)≥0的解集为[－1,1]

38、．因此k＝1.(2)证明：由(1)知＋＋＝1，因为a，b，c为正实数．所以a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时等号成立．因此a＋2b＋3c≥9.6．(2018·福州质检)已知函数f(x)＝

39、x＋1

40、.(1)求不等式f(x)＜

41、2x＋1

42、－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－b).【导学号：79140401】[解]　(1)①当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＜－2x－2，解得x＜－1；②当－1＜x＜－时，原不等式可化为x＋1＜－

43、2x－2，解得x＜－1，此时原不等式无解；③当x≥－时，原不等式可化为x＋1＜2x，解得x＞1.综上，M＝{x

44、x＜－1或x＞1}．(2)证明：因为f(a)－f(－b)＝

45、a＋1

46、－

47、－b＋1

48、≤

49、a＋1－(－b＋1)

50、＝

51、a＋b

52、，所以，要证f(ab)＞f(a)－f(－b)，只需证

53、ab＋1

54、＞

55、a＋b

56、，即证

57、ab＋1

58、2＞

59、a＋b

60、2，即证a2b2＋2ab＋1＞a2＋2ab＋b2，即证a2b2－a2－b2＋1＞0，即证(a2－1)(b2－1)＞0.因为a，b∈M，所以a2＞1，b2＞1，所以(a2－1)(

61、b2－1)＞0成立，所以原不等式成立．