【北师大版】2020版同步优化探究文数练习 第十二章 选修4－4　坐标系与参数方程含解析.doc

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1、课时作业A组——基础对点练1．(2018·沈阳市模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin2θ＝2acosθ(a>0)，直线l：(t为参数)．(1)求曲线C的直角坐标方程，直线l的普通方程；(2)设直线l与曲线C交于M，N两点，点P(－2,0)，若

2、PM

3、，

4、MN

5、，

6、PN

7、成等比数列，求实数a的值．解析：(1)由ρsin2θ＝2acosθ(a＞0)两边同乘以ρ得，曲线C：y2＝2ax，由直线l：(t为参数)，消去t，得直线l：x－y＋2＝0.(2)将代入y2＝2ax得，t2－2at＋8a＝0，由Δ＞

8、0得a＞4，设M(－2＋t1，t1)，N(－2＋t2，t2)，则t1＋t2＝2a，t1t2＝8a，∵

9、PM

10、，

11、MN

12、，

13、PN

14、成等比数列，∴

15、t1－t2

16、2＝

17、t1t2

18、，∴(2a)2－4×8a＝8a，∴a＝5.2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝.(1)求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；(2)设点P为曲线C上任意一点，求点P到直线l的距离的最大值．解析：(1)因为直线l的极坐标方程为ρcos(θ＋)＝，所以ρ(cosθ－si

19、nθ)＝，即x－y－2＝0.曲线C的参数方程为(α为参数)，利用同角三角函数的基本关系消去α，可得＋＝1.(2)设点P(3cosα，sinα)为曲线C上任意一点，则点P到直线l的距离d＝＝，[]故当cos(α＋)＝－1时，d取得最大值，为.B组——能力提升练1．(2018·南昌市模拟)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的参数方程为(θ为参数)．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)若曲线C向左平移一个单位长度，再经过伸缩变换得到曲线C′，设M(x，y)为曲线C′上任意一点，求－xy－y2的最小值，并求相应点

20、M的直角坐标．解析：(1)由(θ为参数)，得曲线C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，得曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(2)曲线C：(x－1)2＋y2＝1，向左平移一个单位长度再经过伸缩变换得到曲线C′的直角坐标方程为＋y2＝1，设M(2cosα，sinα)，则－xy－y2＝cos2α－2sinαcosα－sin2α＝cos2α－sin2α＝2cos(2α＋)，当α＝kπ＋时，－xy－y2的最小值为－2，此时点M的坐标为(1，)或(－1，－)．2．(2018·石家庄模拟)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极

21、坐标方程为ρcosθ＝a(a＞0)，Q为l上一点，以OQ为边作等边三角形OPQ，且O，P，Q三点按逆时针方向排列．(1)当点Q在l上运动时，求点P运动轨迹的直角坐标方程；(2)若曲线C：x2＋y2＝a2，经过伸缩变换得到曲线C′，试判断点P的轨迹与曲线C′是否有交点，如果有，请求出交点的直角坐标，没有则说明理由．解析：(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)，则由题意可得点Q的极坐标为(ρ，θ＋)，再由点Q的直角坐标中的横坐标等于a，a＞0，可得ρcos(θ＋)＝a，可得ρcosθ－ρsinθ＝a，化为直角坐标方程为x－y＝a.故当点Q在l上运动时，点P的直角

22、坐标方程为x－y－2a＝0.(2)曲线C：x2＋y2＝a2，即代入，得＋y′2＝a2，即＋y2＝a2.联立，得消去x，得7y2＋4ay＝0，解得y1＝0，y2＝－a，所以点P的轨迹与曲线C′有交点，交点的直角坐标分别为(a，－a)，(2a,0)．